t Aa = o = Ab. Siis a + b ja a on samuti lahendid, sest maatrikstehete omaduste j¨argi 1) A(a + b) = Aa + Ab = o + o = o 2) A(a) = (A)a = (A)a = (Aa) = o = o Seega homogeense LVS-i lahendihulk (kui aritmeetilise vektorruu- mi alamhulk) on kinnine liitmise ja arvuga korrutamise suhtes. Siit j¨areldub, et homogeense LVS-i lahendiruum on vektorruum. 3 Vektorite omadusi 3.1 Esimest liiki lineaarne vektorv~ orrand Lause 1. V~ orrandil x = v leidub 0 = K ja v V korral parajasti u ¨ks lahend. Selleks lahendiks on vektor v x= := -1 v V VI. Vektorruumid 5 oestus. N¨aitame k~oigepealt, et -1 v on v~ T~ orrandi x = v lahend. T~oepoolest (-1 v) = (-1 )v = 1v = v. Olgu y veel mingi lahend, s.t y = v. Siis ilmselt
3. Kui pidev funktsioon f (x) omab l~oigul [a; b] negatiivseid ja positiivseid v¨a¨artusi, siis on sellel funtksioonil v¨ahemalt u ¨ks nullkoht l~oigul [a; b]. T~oepoolest, kui funktsioonil on negatiivseid v¨a¨artusi l~oigul [a; b], siis m < 0 ja kui on positiivseid v¨a¨artusi, siis M > 0. J¨arelikult m < 0 < M ja omaduse 2 j¨argi v¨ahemalt u ¨ks selline [a; b], et f () = 0. N¨ aide 11.1. V~orrandil x3 - 3x2 + 2 = 0 ¨ks lahend, sest funktsioon f (x) = x3 - 3x2 + 2 on on l~oigul [0; 2] v¨ahemalt u pidev kogu reaalarvude hulgal, kaasa arvatud l~oigul [0; 2] ja f (0) = 2 ning f (2) = -2. Kuigi antud kontekstis pole see oluline, on lihtne kontrollida, et selleks lahendiks on x = 1. 23 2.1 Funktsiooni tuletise m~ oiste
l¨abisegi, st v~orrand F (x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. 19 N¨ aide. Vaatleme v~orrandit x2 + y 2 = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle v~orrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = - 1 - x2 ja y = 1 - x2 . Seega m¨a¨arab v~o rrand (1.5) ilmutamata
l¨ abisegi, st v~orrand F (x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨aiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v~orrandis (1.4), siis muutub see v~orrand samasuseks F (x, f (x)) 0. Seda on illustreeritud allpooltoodud n¨aites. Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand (1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v~orrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. 19 N¨ aide. Vaatleme v~orrandit x2 + y 2 = 1 . (1.5) Kui me lahendame selle v~orrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = - 1 - x2 ja y = 1 - x2 . Seega m¨a¨arab v~o rrand (1.5) ilmutamata
annaabi.ee 
