Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) k¨a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Kui l¨abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asu¨mptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asu¨mptoodi v~orrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - xa- lim f(x)= - xa+ lim f(x)= xa- lim f(x)= xa+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot.
y x 1 2 Joonis 4.5: y = 3x5 - 5x4 4.5 Joone as¨ umptoodid. As¨umptoodi m~ oiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f (x). Sirget l nimetatakse joone y = f (x) as¨ umptoodiks, kui joone y = f (x) jooksva punkti eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Punkt eemaldub l~opmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide algus- punktist kasvab piiramatult. As¨ umptoodid esinevad n¨aiteks joonistel 1.10, 1.11, 1.14, 1.15, 1.17, 1.20, 1.21, 2.3, 2.6 ja 2.7 kujutatud funktsioonide graafikutel. Nad on seal t¨ahistatud katkendliku joonega. Joonel y = f (x) v~oib olla kahte liiki as¨ umptoote: 1. Vertikaalas¨ umptoodid
x 1 2 Joonis 4.5: y = 3x5 - 5x4 4.5 Joone as¨ umptoodid. As¨umptoodi m~ oiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f (x). Sirget l nimetatakse joone y = f (x) as¨ umptoodiks, kui joone y = f (x) jooksva punkti eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Punkt eemaldub l~opmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide algus- punktist kasvab piiramatult. As¨ umptoodid esinevad n¨aiteks joonistel 1.10, 1.11, 1.14, 1.15, 1.17, 1.20, 1.21, 2.3, 2.6 ja 2.7 kujutatud funktsioonide graafikutel. Nad on seal t¨ahistatud katkendliku joonega. Joonel y = f (x) v~oib olla kahte liiki as¨ umptoote: 1. Vertikaalas¨ umptoodid
¨ mptoodid Olgu O koordinaatide alguspunkt ja M (x; y) funktsiooni y = f (x) graafiku punkt. ¨ Definitsioon 1. Oeldakse, et funktsiooni graafiku punkt liigub l~opmatus- -- -- se, kui vektori OM pikkus t~okestamatult kasvab, st |OM | = x2 + y 2 . Definitsioon 2. Sirget nimetetakse funktsiooni graafiku as¨ umptoodiks, kui graafiku punkti liikumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest on l~opma- tult kahanev suurus. Graaafiku as¨umptoodid jaotatakse vertikaalas¨ umptootideks ja kaldas¨ umptootideks. Vertikaalse sirge v~orrandiks on x = a. See sirge on funktsiooni graafiku vertikaalas¨ umptoodiks, kui graafiku punkti M (x; y) liikumisel l~opmatusse, selle kaugus sirgest on l~omatult kahanev suurus, st -- lim |x - a| = 0. |OM | --
annaabi.ee 
