¨ Umbrusi kasutatakse piirprotsesside defineerimisel. Suurus x l¨ aheneb arvule a, kui ta liigub j¨ arjest l¨ ahemale arvule a, st satub arvu a u¨mbrusesse j¨ arjest v¨ aiksema raadiusega . Suurus x l¨ aheneb l~ opmatusele, kui ta asub j¨ arjest l¨ ahemal l~ opmatusele, st satub l~ opmatuse u ¨mbrusesse j¨ arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨ apsemalt tuleb sellest juttu j¨
Arv x kuulub miinus l~opmatuse u ¨mbrusesse (-, -M ) siis ja ainult siis, kui x < -M . ¨ Umbrusi kasutatakse piirprotsesside defineerimisel. Suurus x l¨ aheneb arvule a, kui ta liigub j¨ arjest l¨ ahemale arvule a, st satub arvu a u ¨mbrusesse j¨ arjest v¨ aiksema raadiusega . Suurus x l¨ aheneb l~ opmatusele, kui ta asub j¨ arjest l¨ ahemal l~ opmatusele, st satub l~opmatuse u ¨ mbrusesse j¨arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ukis. T~okestatud hulgad
Lause 11 (Cauchy kriteerium). Jadal {xn } on l~oplik piirv¨a¨artus parajasti siis, kui vastavalt igale positiivsele arvule leidub niisugune naturaalarv n0 , et iga naturaalarvu p puhul |xn+p - xn | < , kui n > n0 . T~oestust vt [5], lk 108110. N¨aide 4. Jada (n + 1)2 /2n2 piirv¨a¨artuse arvutamisel t~odeme, et nii murru lugeja kui ka nimetaja l¨ ahenevad l~ opmatusele. K~oneleme, et on tegemist m¨ a¨arama- tusega t¨ uu¨pi "l~ opmatus jagatud l~opmatusega" ja t¨ahistame = v~oi . Selle m¨a¨arama- tuse avamiseks teeme kindlaks selle murru lugejas ja nimetajas oleva pol¨unoomi astme. M~olema pol¨unoomi aste on n2 ning maksimaalne neist astmetest on samuti n2 . Jagame
lim x |MP| = 0. ¨ Uhtlasi n¨aeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cos , kus on asu¨mptoodi t~ousunurk. Kuna j¨a¨ab muutumatuks protsessis x , siis lim x |MN| = lim x |MP| /cos = 1 /cos lim x |MP| = 0 Edasi paneme t¨ahele, et |MN| v~ordub funktsioonide f(x) ja kx + b v¨a¨artuste vahega, st |MN| = f(x) - kx - b. Seega lim x [f(x) - kx - b] = 0 Tuues x sulgude ette saame lim x x *(f(x)/ x)- k (b/ x)= 0. Selles valemis oleva korrutise x * (f(x)/ x)- k (b/ x) esimene tegur x l¨aheneb l~opmatusele, kuid korrutis ise l¨aheneb nullile. J¨arelikult peab teine tegur l¨ahenema nullile, st lim x (f(x)/ x)- k (b/ x)= 0. Selles avaldises b /x 0, kui x . Seega lim x(f(x)/ x- k)= 0 ehk lim x f(x)/ x- k = 0 ehk k = lim x f(x)/ x b = lim x [f(x) - kx]. Kokkuv~ottes oleme t~oestanud j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon .
annaabi.ee 
