M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu: k~overtrapetsi pindala leidmine. = ()() + ()() 11. N¨aidata, et integreeruv funktsioon on t ~okestatud. 12. N¨aidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) v¨alja arvatud l ~oplikus arvus punktides, siis 23). (Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju). Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n-järku Taylori valemi 13. M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega. () ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0
oigul [a, b], leiame, et lim f (xnk ) = f (c), kusjuures suurus k+ n k f (c) on l~ oplik. Teisalt j¨ areldub tingimusest f (xn ) tingimus f (xnk ) . Oleme saanud vastuolu, mis oli tingitud v¨aitevastasest eeldusest. Seega on l~oigul pidev funktsioon t~okestatud sellel l~oigul. M¨ arkus 1. L~ oplikus vahemikus pidev funktsioon ei ole u ¨ldjuhul t~okestatud selles vahemikus. N¨ aiteks funktsioon f (x) = 1/x on pidev vahemikus (0; 1), kuid ei ole t~okestatud selles vahemikus. T~ oesti, M > 1 korral on vahemiku (0; 1/M ) igas punktis funktsiooni f (x) v¨ a¨ artus suurem kui M. Definitsioon 1. Hulga X R v¨ ahimat u ¨lemist t~oket nimetatakse hulga X u ¨lemiseks rajaks ehk supreemumiks
x ( )x x ¨ lim a1x = 0. Uhtlasi paneme t¨ahele, et a1x = a1 , kus 0 < a1 < 1. Seega v~oib x ( )x artuse lim a1x = lim a1 = 0 leida ka jooniselt 1.5. piirv¨a¨ x x Funktsiooni (x) nimetatakse t~ okestatuks, kui selle funktsiooni v¨a¨artuste hulk on t~okestatud. T~okestatud funktsiooni v¨a¨ artused asuvad mingis l~oplikus vahemikus (a, b). N¨aiteks funktsioonid (x) = sin x ja (x) = cos x on t~okestatud, sest nende v¨a¨artuste hulk Y = [-1, 1] on t~okestatud. Seevastu funktsioonid tan x ja cot x ei ole t~okestatud, kuna nende v¨a¨artuste hulk Y = R ei ole t~okestatud. Teoreemist 2.2 j¨areldub j¨argmine teoreem: Teoreem 2.5. Kui (x) on l~ opmatult kahanev piirprotsessis x a ja (x) on t~ opmatult kahanev piirprotsessis x a. okestatud, siis korrutis (x)(x) on l~
¨ lim 1x = 0. Uhtlasi paneme t¨ahele, et 1x = 1 , kus 0 < 1 < 1. Seega v~oib x a a a a 1 x piirv¨a¨artuse lim 1x = lim = 0 leida ka jooniselt 1.5. x a x a Funktsiooni (x) nimetatakse t~ okestatuks, kui selle funktsiooni v¨a¨artuste hulk on t~okestatud. T~okestatud funktsiooni v¨a¨artused asuvad mingis l~oplikus vahemikus (a, b). N¨aiteks funktsioonid (x) = sin x ja (x) = cos x on t~okestatud, sest nende v¨a¨artuste hulk Y = [-1, 1] on t~okestatud. Seevastu funktsioonid tan x ja cot x ei ole t~okestatud, kuna nende v¨a¨artuste hulk Y = R ei ole t~okestatud. Teoreemist 2.2 j¨areldub j¨argmine teoreem: Teoreem 2.5. Kui (x) on l~ opmatult kahanev piirprotsessis x a ja (x) on t~ okestatud, siis korrutis (x)(x) on l~ opmatult kahanev piirprotsessis x a.
annaabi.ee 
