Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f(x) peab v¨ahemalt u¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on u¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c
reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨ hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c
reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c
[a; b]; a, b ∈ R, a ≤ b. 8.3 Lineaarne sidusus 93 Teoreem 8.41 Kui topoloogiline ruum X on sidus ja kompakt- ne ning f : X −→ R on pidev kujutus, siis leiduvad sellised a, b ∈ R, a ≤ b, et f (X) = [a; b]. T˜oestus. Kuna pidev kujutus kujutab kompaktse hulga kompaktseks ja sidusa hulga sidusaks hulgaks, siis on kujutuse f v¨a¨artuste hulk f (X) kompaktne ja sidus hulk arvteljel, st avaldub teoreemi s˜onastuses n¨aidatud kujul. Teoreemist 8.7 j¨arelduvad vahetult matemaatilise anal¨ uu¨si kursusest tuntud Weierstrasse’i teoreem, mille kohaselt l˜oigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed v¨a¨artused sellel l˜oigul, ja Bolzano-Cauchy teoreem, mille kohaselt l˜oigul pi- dev funktsioon omab iga v¨a¨artust, mis paikneb ekstremaalsete v¨a¨artuste vahel. 8.3 Lineaarne sidusus
annaabi.ee 
