(1.19) 2 Iga X M at(m, n) ja nullmaatriksi M at(m, n) korral X + = X, + X = X. 3 Iga X M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi -X M at(m, n) korral kehtib X + (-X) = , (-X) + X = . 4 Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t~oestame need omadused, m¨argime, et t~oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) - (1.15). T~oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m~oned neist t~oestustest kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna valemiga (1.16). T~oestame n¨ ¨d maatriksite liitmise omadused 1 - 4 . uu 1 Olgu maatriksid X, Y, Z M at(m, n) antud u ¨ldelementide abil, s.o.
19) 2◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja nullmaatriksi θ ∈ M at(m, n) korral X + θ = X, θ + X = X. 3◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi −X ∈ M at(m, n) korral kehtib X + (−X) = θ, (−X) + X = θ. 4◦ Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y ∈ M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t˜oestame need omadused, m¨argime, et t˜oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) − (1.15). T˜oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m˜oned neist t˜oestustest kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna valemiga (1.16). T˜oestame n¨ ¨d maatriksite liitmise omadused 1◦ − 4◦ . uu
Omadus 7. Kui m on funktsiooni f (x) v¨ahim ja M funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b m(b - a) f (x)dx M (b - a), a st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep¨arast t~oestame ainult pa- rempoolse v~orratuse. Funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b] on M . Seega iga osal~oikudel juhuslikult valitud punktis k on f (k ) M , st iga k = 1, 2, . . . , n korral f (k )xk M xk . Summeerides saame, et n n f (k )xk M xk =
c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu. Oppevahend pakub t¨ aiendavaid v~oimalusi u ¨li~opilaste iseseisvaks t¨o¨oks. T~oestuseta esitatud oluliste v¨ aidete korral on antud viide ~opikule, millest huviline v~oib leida kor- rektse t~ oestuse. ~
Omadus 7. Kui m on funktsiooni f (x) v¨ahim ja M funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b m(b - a) f (x)dx M (b - a), a st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep¨arast t~oestame ainult pa- rempoolse v~orratuse. Funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b] on M . Seega iga osal~oikudel juhuslikult valitud punktis k on f (k ) M , st iga k = 1, 2, . . . , n korral f (k )xk M xk . Summeerides saame, et n n f (k )xk M xk =
annaabi.ee 
