arkudega maatriksid ning , R. Siis 1) A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus), 3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus), 4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B)
Seega on valemi (4.1) parem pool nullist suurem. Saame f (x2 )-f (x1 ) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja pii- savad tingimused. Eespool §3.8 defineerisime funktsiooni lokaalse ekstreemumi. Uhtlasi ¨ t~oestasime Fermat' lemma, mis v¨aidab, et diferentseeriva funktsiooni tuletis on lokaalses ekstreemumpunktis v~ordne nulliga. K¨aesolevas paragrahvis vaatleme natuke u ¨ldisemat juhtu, kui funktsioon ei tarvitse diferentseeruv olla. Niisiis: olgu funktsioonil f (x) punktis x1 lokaalne ekstreemum. Siis on kaks v~oimalust: kas f on diferentseeruv selles punktis (see t¨ahendab, et eksisteerib oplik tuletis f (x1 )) v~oi f ei ole diferentseeruv punktis x1 (so vastav l~oplik l~ tuletis puudub)
Seega on valemi (4.1) parem pool nullist suurem. Saame f (x2 )-f (x1 ) > 0. Sellest j¨areldubki soovitud v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). V¨aide 2 t~oestatakse analoogiliselt. 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja pii- savad tingimused. ¨ Eespool §3.8 defineerisime funktsiooni lokaalse ekstreemumi. Uhtlasi t~oestasime Fermat' lemma, mis v¨aidab, et diferentseeriva funktsiooni tuletis on lokaalses ekstreemumpunktis v~ordne nulliga. K¨aesolevas paragrahvis vaatleme natuke u ¨ldisemat juhtu, kui funktsioon ei tarvitse diferentseeruv olla. Niisiis: olgu funktsioonil f (x) punktis x1 lokaalne ekstreemum. Siis on kaks v~oimalust: kas f on diferentseeruv selles punktis (see t¨ahendab, et eksisteerib l~oplik tuletis f (x1 )) v~oi f ei ole diferentseeruv punktis x1 (so vastav l~oplik tuletis puudub)
6) osasummade jada (8.8) ja teoreemi 1 p~ohjal ei saa sellel olla l~oplikku piirv¨a¨artust. N¨ aide 1. T~oestame, et rida 1 1 1 1 1+ + + ... + 2 + ... = 4 9 k k=1 k2 koondub. Punkti 8.1 n¨aites 2 t~oestasime rea 1 1 = k=1 k(k + 1) k=2 (k - 1)k koonduvuse. Iga k = 2, 3, . . . korral kehtiva v~orratuse 1 1 2
annaabi.ee 
