Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|. 3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A. [tuletis funktsiooni u = (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga] 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. · Nabla ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist (P) võrdub selle funktsiooni gradiendiga, st ( P) =grad (P). · Vektorvälja divergents olgu antud vektorväli F(P)=(F1(P), F2(P),...,Fm(P)). Moodustame nabla ja F(P) skalaarkorrutise * F (P) = F1(P)+ F2(P) + ..
Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|. 3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A. [tuletis funktsiooni u = (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga] 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. · Nabla ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist (P) võrdub selle funktsiooni gradiendiga, st ( P) =grad (P). · Vektorvälja divergents olgu antud vektorväli F(P)=(F1(P), F2(P),...,Fm(P)). Moodustame nabla ja F(P) skalaarkorrutise * F (P) = F1(P)+ F2(P) + ..
17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega. Kahemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoojoone normaalvektoriga. 19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli. Potentsiaalse välja ja potentsiaali mõisted. Tuletada tingimused vektorvälja komponentide jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt
n-muutuja funktsiooni nimetatakse ka n-mõõtmeliseks skalaarväljaks. Mõiste tuleneb sellest, et taoline funktsioon seab etteantud vektorile vastavusse reaalarvu ehk skalaari. Olgu antud 2n muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u1, . . . un. Kujutist, mis seab igale vektorile x = (x1, . . . , xn) teatud hulgast X ⊆ Rn vastavusse ühe kindla vektori u = (u1, . . . , un) nimetatakse n- mõõtmeliseks vektorväljaks. 19. Defineerida skalaarvälja gradient. Mis on nabla? Olgu antud skalaarväli u = F(x). Skalaarvälja F gradiendiks kohal x nimetatakse järgmist vektorit: gradF ( ⃗x )=¿) Gradiendi tähistamiseks kasutatakse ka sümbolit ⃗ ∇ (või ∇), mis kannab nime nabla. 20. Milline vektorväli on potentsiaalne? Mis on vektorvälja potentsiaal? Vektorvälja ⃗f nimetatakse potentsiaalseks ehk konservatiivseks, kui leidub skalaarväli F nii, et ⃗f = gradF
uunaline. Sellisel juhul fs (P ) = |gradf (P )|. Omadus 3. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutja funktsioon ja A punkt tema m¨ a¨ aramispiirkonnas. Vektor gradf (A) on funktsiooni f nivoopinna normaalvek- tor punktis A. Teiste s~ onadega: gradf (A) ristub punkti A l¨abiva nivoopinna f (x, y, z) = C puutujatasandiga punktis A. Tuletis funktsiooni u = f (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas v~ ordub nulliga. 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. Nabla. Eemaldades funktsiooni f (P ) gradiendist gradf (P ) = f (P ), f (P ), . . . , f (P ) x1 x2 xm funktsiooni f (P ), j¨a¨ab j¨argi j¨argmine s¨umboolne vektor, mis koosneb ainult osatuletistest:
df = dt + dx + dy + dz t x y z saame avaldada ajalise täistuletise 7 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken df f f dx f dy f dz f f f f = + + + = + u+ v+ w . dt t x dt y dt z dt t x y z Kolmemõõtmeliste väljade operaatorid Operaator "nabla" = x , y , z = x i + y j + z k Olgu antud väli (funktsioon) = ( x, y, z ) = ( x ) . Gradient on kiireima muutuse suunaline vektor = grad = x , y , z = n n kus n on välja samaväärtuspinna normaalisuunaline ühikvektor (risti pinnaga = const) ning on normaalisuunaline osatuletis. n
annaabi.ee 
