ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26- 27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kitsendused on ≥- tüüpi võrratused. 8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue (≤ , ≥ või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. lk. 26-27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (yi ≥ 0). Järgnevalt selgitame duaalse ülesande tingimustesüsteemi tingimuste märkide ja duaalsetele tundmatutele esitavate nõuete määramist. Kõigepealt sõltub see sellest, kas esialgses ülesandes nõutakse sihifunktsioonile maksimumi või miinimumi. Kui esialgses ülesandes nõutakse sihifunktsiooni maksimumi, siis 1) duaalse ülesande tingimusele märgi fikseerimiseks tulenevalt esialgses ülesandes tundmatule esitatavast nõudest mittenegatiivsuse kohta on järgmised
5(6p). Monopolisti toodangule on nõudlusfunktsioon P = 3 Q 1/2 ja tema toodangufunktsioon on Q = (L K) 2/3, kusjuures tööjõud L on hinnamääraga w ning kapitalimahutused K hinnamääraga r. a) Leida L * ja K *, mille korral kasum on maksimaalne. b) Kontrollida Hesse maatriksi tingimusi. c) Tehke L * analüüsi r suhtes. Vihjed/vastused 1. Marginaalkulu on MC = dC/dq, selle muutumist a suhtes iseloomustab tuletis dMC/da. Mittenegatiivsus tähendab ruutkolmliikme mittenegatiivsust (uurida diskriminanti), saame, et a > 1. Juhul a = ¾ saame MC = (9/4) q 2 + 6 q + 3, see on ruutparabool. 2. Lahendasime loengus, y' = (1 / (ln a - ln x ) ))'. 3. Tähtis tasakaaluvõrrand on S n + 1 = D n + 1 , kuhu asendatakse nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon. Tähiseid K, L, A, jne loengust ei saa siin kasutada ! Asendades saadakse diferentsvõrrand muutujate p n (mõelge x-le) ja p n+1 (mõelge y-le) suhtes
c1,c2 Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga 3. DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi kordajate maatriksi transponeeritud kuju. 4. DÜ nõutakse sihifunktsiooni miinimumi. 5. Max –põhikujulise ül duaalse ül kõik kitsendused on võrratused ≥ 6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1. Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4
t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. tabelist). 10. Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kitsendused on - tüüpi 11. võrratused. 8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue ( , või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. tabelist). 12. Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (yi 0). 13. Lahendid: 14. Duaalse ülesande lahendid saab optimaalse simplekstabeli sihifunktsiooni reas, abitundmatute veergudes. Kui tegemist on kasumi maksimeerimise piiratud ressursside tingimustes, siis duaalse ülesande tundmatute väärtused väljendavad täiendavat kasumit, mida oleks võimalik saada, kui i-ndat ressurssi oleks ühe ühiku võrra rohkem. Sel juhul duaalset tundmatut yi nimetatakse ka ressursi fiktiivseks hinnaks, s.t
Kui S∗ = S ∗ =: SaABb , siis sisalduvusi (5.1) silmas pidades on loomulik lugeda arvu SaABb kõvertrapetsi aABb pindalaks. Küsimus sellest, kas võrdus S∗ = S ∗ iga pideva mittenegatiivse funktsiooni f : [a, b] → R korral tõepoolest kehtib, jääb esialgu lahtiseks. 5.2 Riemanni integraal 5.2.1 Integraali mõiste. Tarvilik tingimus integreeruvuseks Erinevalt eelmisest punktist ei eelda me järgnevas funktsiooni f : [a, b] → R pidevust ega mittenegatiivsust. Olgu lõigus [a, b] fikseeritud mingi alajaotus T [x0 , . . . , xn ]. Fikseerime iga k korral suvaliselt punkti ξk ∈ [xk−1 , xk ], tähistame ξ := (ξ1 , . . . , ξn ) ja moodustame (alajaotusest T ning punktide ξk ∈ [xk−1 , xk ] järjendist ξ sõltuva) integraalsumma n X σ (T, ξ) := f (ξk ) ∆xk
annaabi.ee 
