Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui vektorid , , on komplanaarsed, siis leiduvad arvud p ja q nii et =p+q.
Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9 Tasandi riht Kui on antud punkt P(x0, y0, z0) ja kaks mittekollineaarset vektorit a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), siis ruumis leidub üks ja ainult üks tasand π, mis läbib punkti P ja on paralleelne vektorite paariga {a,b}. Sellisel juhul vektoreid {a,b} nimetatakse tasandi π rihiks. Tasandi normaalvektor Olgu antud ruumi punkt P(x0, y0, z0) ja vektor N= (A, B, C). Ruumis leidub ainult üks tasand π, mis läbib punkti P, st P ∈ π, ja on risti vektoriga N. Vektorit N nimetatakse selle tasandi normaalvektoriks. Normaalvektor ei ole
Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy. y=k(x-xo)+yo, kus k=sy/sx nim. Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga tangens, st. k=tan. Sirge võrrand esitatakse tavaliselt üldvõrrandina. See näitab, et sirge tasandil on kahe muutuja lineaarne võrrand. Tasandi võrrandid Fikseeritud punkt ja kaks nullist erinevat mittekollineaarset vektorit määravad tasandi. Neid tasandi suunalisi vektoreid nimetatakse tasandi suunavektoriteks.Tasandi üldvõrrand A(x-xo)+B(y-yo) +C(z-zo)=0. Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest. Tasandi ja sirge vahelise nurga all mõistetakse sirge ja selle tasandile võetud projektsiooni vahelist nurka: see on tasandi normaali ja sirge suunavektori vahelise nurga täiendnurk. Arve a, b ja c nimetatakse telglõikudeks
SIRGE JA TASAND RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu- konspektist http://math.ut.ee/pmi/kursused/ag/parring/ peatü- kist "V. Sirged ja tasandid`'. Viidatud materjalis on kogu teoreetiline ülesehitus algusest lõpuni läbi tehtud koos vajalike tõestustega. 14.1 Tasandi vektorvõrrandid Tasandit - tähistame - vaatleme ainult ruumis E3 . Olgu tasandi peal antud punkt A E3 ja kaks mittekollineaarset vektorit u ja v ruumis E3 . Definitsioon 14.1 Tasandit määravate mittekollineaarset vektorsüsteemi {u, v} E3 ni- metatakse tasandi rihiks, vektoreid u ja v ka tasandi rihivektoriteks. Punkti A ja rihivektorite u ja v abil saab leida mistahes vabavektori AX tasandil . Definitsioon 14.2 Võrrandit = {X | AX = t1 u + t2 v, t1 , t2 R} (14.1)
Punkti ja normaalvektoriga määratud tasandi võrrand Tasand läbib punkti P(x1; y1; z1) ja on risti vektoriga n ( A; B;C ) Tasandi võrrand on (x – x1) · A + (y – y1) · B + (z – z1) · C = 0 Tasandi üldvõrrand Ax + By + Cz + D = 0, kus A, B ja C on tasandi normaalvektori koordinaadid. Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand On antud punkt P(x1; y1; z1) ja kaks mittekollineaarset vektorit a (a; b; c) ja b (d; e; f ) . Sel juhul saab tasandi võrrandi leida kolmerealise determinandi x x1 y y1 z z1 a b c 0 abil. d e f Kolme punktiga määratud tasandi võrrand On antud punktid P1(x1; y1; z1), P2(x2; y2; z2) ja P3(x3; y3; z3). Nende punktidega määratud tasandi võrrand on x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 . x3 x1 y3 y1 z3 z1
annaabi.ee 
