arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . . . + a n l A n l , l = 1, 2, . . . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1
arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . . . + a n l A n l , l = 1, 2, . . . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1
. . , jm . Definitsioon 4.1. Determinanti xi1 j1 xi1 j2 . . . xi1 jm x xi2 j2 . . . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n - m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . .
. . , jm . Definitsioon 4.1. Determinanti xi1 j1 xi1 j2 . . . xi1 jm x xi2 j2 . . . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n − m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . .
Seega elemendile aij vastava miinori saame, kui kõrvaldame rea ja veeru, mille ristumiskohas asub element aij. Näiteks III järku determinandi * A * miinori M11 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 1. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatud determinant ongi miinor M11 : Elemendile a12 vastava miinori M12 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 2. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatakse miinor M12 : Neljandat järku determinandi korral näiteks Kasutades miinoreid, võib nüüd n järku determinandi arendada ritta kas rea või veeru järgi. Determinandi arendus i-nda rea järgi: * A * ' j (& 1) i %j aij Mij ' (& 1) i %1 ai1 Mi1 % (& 1) i %2 ai2 Mi2... % (& 1) i %n ain Min n j '1 Näiteks III järku determinandi /0 11 12 13 /0 a a a
annaabi.ee 
