1.7 Vaadelgem kolmeelemendilise hulga X = { a, b, c } alam- hulkade hulka T = { ∅, X, {a}, {b}, {a, b} }. N¨aidata, et T on topoloogia hulgal X. 1.8 N¨aidata, et l˜oigu X = [0; 1] alamhulkade hulk T = { A | 0 ∈ A ⊂ X }∪ ∪{ A | 0 ∈ A ⊂ X, X A on l˜oplik v˜oi loenduv } on topoloogia hulgal X. ¨ 2 UMBRUSED 2.1 Punkti u ¨ mbruste s¨ usteem Olgu (X, T ) topoloogiline ruum. Definitsioon 2.1 Punkti x ∈ X u ¨ mbruseks nimetatak- se ruumi X alamhulka A, mis sisaldab alamhulgana mingit punkti x sisaldavat lahtist hulka B: x ∈ B ⊂ A, B ∈ T (joonis 2.1). X A B ♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣♣ rx♣♣♣ ♣♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣♣ Joonis 2
|a| = -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . u 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0
-a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub arvu a u¨mbrusesse (a - , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a v¨aiksem kui , st |x - a| < . N¨aiteks arvu 0 u ¨mbrus on suvaline vahemik (-, ). Arv x kuulub 0-i u ¨mbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < . 2 Reaalarvu a vasakpoolseks u ¨mbruseks nimetatakse suvalist pooll~oiku (a - , a], kus > 0
artus 1.2.1 Jada piirv¨ a¨ artus Reaalarvude hulga ja arvtelje punktide hulga vahel on u ¨ks¨ uhene vastavus. Edaspidi kasutame samas t¨ahenduses m~oisteid reaalarv a ja arvtelje punkt a. Kahe reaalarvu a ja b vaheliseks kauguseks on |b - a|. Samuti on |b - a| arvtelje punktide a ja b vaheliseks kauguseks. Definitsioon 1.1. Punkti a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ; a + ), st vahemikku, mis on punkti a suhtes s¨ummeetriline. Olgu vaatluse all jada y1 , y2 , y3 , ..., yn , .... (1.1) Definitsioon 1.2. Reaalarvu b nimetatakse jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui > 0 korral leidub niisugune jada indeks N , et niipea, kui n > N , siis |yn - b| < . Definitsiooni kohaselt on reaalarv b jada (1.1) piirv¨a¨artuseks, kui > 0
annaabi.ee 
