Järeldus: Logaritmide vahe on võrdne jagatise logaritmiga. III Astme logaritmimise reegel Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. logabn = nlogab Järeldus: Logaritmi ees oleva kordaja võib viia logaritmitava astendajaks (NB! Juhul kui logaritm ise pole mingis astmes). nlogab = logabn Logaritmvõrrandid Logaritmvõrrand on võrrand, kus otsitav asub logaritmitavad või logaritmialuses. Logaritmvõrrandi lahenduse osa on kontroll. Logaritmvõrrandite lahendusvõtted I Potentseerimine logab = logac b=c II Asendusvõte (e. ruutvõrrandile taandamine) Kasutan abitundmatut. Kontrolli teen ka ruutvõrrandile. Ruutvõrrandi võõrlahenditega logaritmvõrrandi kontrolli ei tee. III Logaritmi I definitsiooni kasutamine IV Logaritmi II definitsiooni kasutamine
x 2-9 1 millest saame x -9=5 x +5 , ehk 2 2 =5 , x -5 x-14=0. x +1 Saadud ruutvõrrandi lahenditeks on x 1=-2, x 2=7. Kontroll: x 1=-2. log 5 (-2-3 ) +log 5 (-2+ 3 )-log5 (-2+ 1 )=1 . Selgub, et selle lahendi korral mõned logaritmitavad on negatiivsed, järelikult ,,-2" on väär lahend. x 2=7 . log 5 ( 7-3 )+ log 5 (7 +3 )-log 5 ( 7+1 )=1 . log 5 4 +log 5 10-log 5 8=1, 4 10 log 5 =1, 8 log 5 5=1,
Näide 2 Lahendada võrrand log( x + 1) + log( x - 1) - log(2 x + 5) = log 3 Lahendus log a xy = log a x + log a y log( x + 1) + log( x - 1) - log(2 x + 5) = log 3 log a x / y = log a x - log a y ( x + 1)( x - 1) logaritmid on võrdsed, alused (10) samuti, log = log 3 järelikult on võrdsed ka logaritmitavad 2x + 5 ( x + 1)( x - 1) ruutvõrrandi =3 2x + 5 lahendamine x 2 - 1 = 3(2 x + 5) x1 = -2, x2 = 8. Kontroll 1) log(-2 + 1) = log(-1) ei oma väärtust, seetõttu x = -2 on võõrlahend. 97 2) V = log(8 + 1) + log(8 - 1) - log(2 8 + 5) = log = log 3.
x -2 Vastus. Jooniselt leitud lahendite ühend, esialgse võrratuse lahend on x -2. ******************************************************************* Vaatleme lõpuks veel näidet logaritmvõrratuste lahendamise kohta. Näide 8. Lahendame logaritmvõrratuse log (2x + 6) - log (15-x) > 1. Leiame MP: selleks, et logaritmid eksisteeriksid, peavad logaritmitavad avaldised olema positiivsed. 2 x + 6 > 0 15 - x > 0. Siit MP on ]-3;15[. 12 Nüüd asendame esialgses võrratuses 1 = log 10 ja edasi teisendades saame 2x + 6 log > log 10 . 15 - x Kuna logaritmfunktsioon on igal alusel ]1;[ (praegu alusel 10) rangelt kasvav, siis 2x + 6
Kui pH = pI, siis on valdav osa glütsiinimolekule kujul H3N+-CH2-COO- ning vormid H3N+-CH2-COOH ja H2N-CH2-COO- esinevad väga väikeses kuid omavahel täpselt võrdses hulgas. Me võime leida isoelektrilise punkti rakendades Henderson-Hasselbalchi võrrandit kummagi ioontasakaalu jaoks eraldi: pI = pKCOOH + log([H3N+CH2COO-]/[H3N+CH2COOH]) (3.19) ja pI = pKNH3+ + log([H2NCH2COO-]/[H3N+CH2COO-]) (3.20) liites võrrandid 3.19 ja 3.20 ning koondades logaritmitavad suurused ühe logaritmimärgi alla saame: 2pI = pKCOOH + pKNH3+ + log([H2NCH2COO-]/[H3N+CH2COOH]) (3.21) Kuna isoelektrilises punktis on [H2NCH2COO-] = [H3N+CH2COOH], siis saame: pI = (pKCOOH + pKNH3+)/2 (3.22) Seega näeme, et kahte ioniseeritavat rühmi sisaldava molekuli pI on lihtsalt vastavate rühmide pKa väärtuste aritmeetiline keskmine. Glütsiini pI on seega pI = (2,3 + 9,6)/2 = 5,95. Nagu me jooniselt 3
Valemi 1 põhjal log u = log 3 x +1 ⋅ z 2 − log 7 x 2 ja lõpuks valemi 2 põhjal saame: 3 x +1 ⋅ z 2 log u = log . 7x2 3 x +1 ⋅ z 2 Seetõttu u = (kui logaritmid on võrdsed, siis on ka logaritmitavad avaldised 7x2 võrdsed). 3 x +1 ⋅ z 2 Vastus. u = . 7x2 43 3.22 Summa märk Summa märk on kreeka tähestiku suur täht Σ (sigma), mille abil tähistatakse lühidalt ühelaadsete liidetavate summat. Näiteks n ∑a i=m
annaabi.ee 
