b) punkt c, et f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) Lagrange'i keskväärtusteoreem. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c (a; b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). L'Hospitali reegel: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g(x) 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 . Kui eksisteerib piirväärtus limxaf(x)/g(x) , siis eksisteerib ka piirväärtus limxaf(x)/g(x) ja kehtib valem limxaf(x)/g(x)= limxaf(x)/g(x) Punktis a n korda diferentseeruva funktsiooni f n-järku Taylori polünoomiks punktis a nimetatakse polünoomi:F(x)= n f k (a) n f k ( 0) k k =0 k!
f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b]. 4 Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b]. Funktsiooni tuletis - f'(a) = limxaf(x) - f(a) /x a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni diferentsiaali mõiste Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f'(a)x Valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f (a) =dy/dx y dy.
piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ± ja b = ± : Analoogiliselt saab käsitleda ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused - või . Selleks tuleb ülaltoodud definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega või -. Näiteks piirväärtuse limxaf(x) = definitsioon on järgmine: Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a-, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on............
tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10) · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust xa(ei võrdu), funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule a. Kirjutusviis: limxaf(x)= b või f(x)b kui x a · Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Suvalises piirprotsessis xa, kus x=a, l äheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A =(a,b) · Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtumitele a=± ja b=± NT: limxa f(x) = Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, kus xa, funktsiooni v äärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10) · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust xa(ei võrdu), funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule a. Kirjutusviis: limxaf(x)= b või f(x)b kui x a · Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Suvalises piirprotsessis xa, kus x=a, l äheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A =(a,b) · Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtumitele a=± ja b=± NT: limxa f(x) = Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, kus xa, funktsiooni v äärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
x 1 sin x 1< < milest järeldub: cos x < < 1 (1.1) sin x cos x x Kuna punkt a = 0 asub elementaarfunktsioon y= cos x määramispiirkonnas, siis teoreemist (1*) järeldub, et limx0=cos0 = 1. Rakendades võrratusele (1.1) keskmise muutuja omadust, saamegi võrduse (**) M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x )
annaabi.ee 
