3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null
̅ (f)) = 0. Riemanni summa lõigul [a,b] on kujul (f)=∑ seega ̅ = sup ja (f)) = inf Kuna vastavalt Riemanni integraali definitsioonile eksisteerib piirväärtus ̅ ̅ . 3. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Lebesgue’i teoreem Lause: Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f (x) g(x) ( ), siis joontega y = f (x); y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul ∫ ( ) Lause: Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste võrranditega { Kusjuures on rangelt monotoonne ja pidevalt diferentseeruv
β f ( φ ( x ) ) φ ( x ) dx=¿ ∫ f ( φ ( x )) dφ ( x ) . kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul S=∫ ψ ( t ) φ ' ( t ) dt f ( t ) dt=¿∫ ¿ α 3. Lebesgue’i teoreem. Erijuhud. Lause(Lebesgue’i teoreem):Funktsioon f on lõigul [a,b] ∫¿ Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a,b] ja pideb peaaegu kõikjal lõigul [a,b],, st katkev hulgal, millel Lebesgue’i mõõt on null. Hulga D ⊂ R Lebesgue mõt on null siis
Tõestus: Kui on lõigu tükeldus, kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame Millest järeldub f(x)=O(1) . Et Seega on lause tõene. 15. Lebesgue'i teoreem. Konstanse funktsiooni inegreerivus. Pideva funktsiooni integreeruvus. Monotoonse funktsiooni integreeruvus. Üks lausetest tõestada. Lause (Lebesgue'i teoreem) Funktsioon f on lõigul [a; b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a; b] ja pidev peaaegu kõikjal lõigul [a; b], st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Lause Lõigul [a; b] konstantne funktsioon on integreeruv sellel lõigul,kusjuures Lause
max xi 0 max xi 0 max xi 0 i i i ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 9 / 18 Ma¨ aratud ¨ integraal Lebesgue'i teoreem Lebesgue'i teoreem Lause (Lebesgue'i teoreem) ~ Funktsioon f on loigul ~ [a, b] Riemanni mottes integreeruv parajasti siis ~ kui ta on tokestatud ~ loigul ~ [a, b] ja pidev peaaegu koikjal ~ loigul [a, b], st katkev hulgal, mille Lebesgue mo~ ot ~ on null.
annaabi.ee 
