Antud funktsiooni määramispiirkond on . Avaldame teist järku tuletise: Teist järku kriitilised punktid on ja . Kanname need teljele: (JOONIS) Vaadeldava funktsiooni teine tuletis saab märki muuta vaid teist järku kriitilistes punktides. Seega säilitab märki vahemikes . Fikseerime kontrollpunktid neil intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks märgid: Kasutades diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna ja nõgususpiirkonna . Argumendi väärtusel asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt käänupunkt. Väärtusel käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge joone vertikaalasümptoot? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Joone asümptoodi definitsioon
kohal. Funktsiooni füüsikaline tähendus funktsiooni esimene tuletis mingil ajahetkel annab hetkkiiruse sellel ajahetkel. Tuletise rakendusi funktsiooni käitumise uurimisel: 1) f'(x) > 0 positiivsuspiirkond; 2) f'(x) < 0 negatiivsuspiirkond; 3) f'(x) = 0 annab kriitilised kohad, mida saab teise tuletisega kontrollida; 4) f''(x) > 0 annab nôgususpiirkonna; 5) f''(x) < - annab kumeruspiirkonna; 6) f''(x) = 0 annab käänukohad. 33. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34
intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks f ' ' ( x ) märgid: f ' ' (-1 )=60 (-1 )2 (-1-1 ) <0 f ' ' ( 0,5 )=600,5 2 ( 0,5-1 )< 0 f ' ' ( 2 )=6022 ( 2-1 ) >0 Kasutade ^ X =(- ,1) ja nõgususpiirkonna =(1, ) X s diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna . Argumendi väärtusel x=1 asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt P=(1,-2) käänupunkt. Väärtusel x=0 käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge a x = joone ) (xfy = vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x .
(1, ). Fikseerime kontrollpunktid neil intervallidel ja teeme kontrollpuntides kindlaks f (x) m¨argid: f (-1) = 60(-1)2 (-1 - 1) < 0 f (0.5) = 60 · 0.52 (0.5 - 1) < 0 , f (2) = 60 · 22 (2 - 1) > 0 . Teise tuletise m¨argi p~ohjal koostame kumerus-n~ogusus diagrammi x-teljel (vt u ¨lal). Kasutades seda diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna X = (-, 1) ja n~ogususpiirkonna X = (1, ). Argumendi v¨a¨artusel x = 1 asendub kumerus n~ogususega. Seega on vastav punkt P = (1, -2) k¨a¨anupunkt. Argumendi v¨a¨artusel x = 0 k¨a¨ anupunkti ei ole. On v~omalik n¨aidata (kasutades teoreemi 4.3), et punktis x = 0 on lokaalne miinimum. Funktsiooni graafik on kujutatud joonisel 4.5. 95 y
(1, ). Fikseerime kontrollpunktid neil intervallidel ja teeme kontrollpuntides kindlaks f (x) m¨argid: f (-1) = 60(-1)2 (-1 - 1) < 0 f (0.5) = 60 · 0.52 (0.5 - 1) < 0 , f (2) = 60 · 22 (2 - 1) > 0 . Teise tuletise m¨argi p~ohjal koostame kumerus-n~ogusus diagrammi x-teljel (vt u ¨lal). Kasutades seda diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna X = (-, 1) ja n~ogususpiirkonna X = (1, ). Argumendi v¨a¨artusel x = 1 asendub kumerus n~ogususega. Seega on vastav punkt P = (1, -2) k¨a¨anupunkt. Argumendi v¨a¨artusel x = 0 k¨a¨anupunkti ei ole. On v~omalik n¨aidata (kasutades teoreemi 4.3), et punktis x = 0 on lokaalne miinimum. Funktsiooni graafik on kujutatud joonisel 4.5. 95 y
N¨aide. Leiame funktsiooni y = e-x graafiku kumerus- ja n~ogususpiir- konnad ning k¨a¨anupunktid. 2 2 2 2 Leiame y = -2xe-x ja y = -2e-x + 4x2 e-x = 2e-x (2x2 - 1). 2 Et 2e-x > 0, saame teise tuletise nullkohad v~orrandist 2x2 - 1 = 0, 1 1 millest x1 = - ja x2 = . 2 2 1 Kumeruspiirkonna leiame v~orratusest 2x2 - 1 < 0, millest - < x < 2 1 2 1 . N~ogususpiirkonna leiame v~orratusest 2x - 1 > 0, millest x < - v~oi 2 2 1 x > . Teist j¨aku tuletis muudab m¨arki m~olema leitud x v¨a¨artuse korral. 2
annaabi.ee 
