I = ja seetõttu: või f ( x, y)dxdy = F ( , )d d f ( x, y)dxdy = F ( , )d d D 1( ) D 1 1( ) 4. Kolmekordse integraali definitsioon, regulaarne kolmemõõtmeline piirkond, kolmikintegraal, teoreem kolmekordse integraali ja kolmikintegraali vahelisest seosest tõestuseta. Seda piirväärtust, mis ei sõltu ei piirkonna V jaotamisviisist ega punktide P1 valikust, tähistatakse sümboliga f ( P )dv ja nimetatakse kolmekordseks integraaliks. V Seega definitsiooni järgi: f ( P)dv = f ( x, y, z )dxdydz . Olgu ruumiline v V
vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ=sqrt(x2+y2) ; tanφ=y/x. Poisson integraali abil esitatakse Gaussi kõver. 8. Kolmekordne integraal ja selle arvutamine kolmikintegraali abil, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z).3kordseks int-ks piirkonnas V nim piirväärtust kui see eksisteerib. Kui 3 muutujaga fn-l on olemas 3xint,nim f-ni integreeruvaks. Kolmikintegraal üle pinna V: 9. Kolmekordse integraali arvutamine silinder- ja sfäärikoordinaatides, näiteid Kui integreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna silinderkoord. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z; φЄ[α;β]. V=ʃʃʃf(ρcosφ, ρsinφ, z)ρdρdφdz Kui integeerimispiirkond on sfäär või selle osa, aitab üleminek sfäärikoordinaatidele x=rcosφsinθ, y=rsinφsinθ, z=rcosθ V=ʃʃʃf(rcosφsinθ, rsinφsinθ, rcosθ)r2sinθdrdφdθ 10
Regulaarseks kolmemõõtmeliseks piirkonnaks on näiteks ellipsid, risttahukas, tetraeeder jms. Olgu piirkonda V alt piirava pinna võrrand z=1(x,y) ja ülalt piirava pinna võrrand z= 2(x,y). Vaatleme kolmikintegraali IV üle piirkonna V kolme muutuja funktsioonist z=f(x,y,z), mis on defineeritud ja pidev piirkonnas V. Olgu piirkond D, s.o. piirkonna V projektsioon xy-tasandil, piiratud joontega y=1(x), y=2(x), x=a, x=b, siis funktsiooni z=f(x,y,z) kolmikintegraal üle piirkonna V defineeritakse järgmiselt: Kolmikintegraali omadused on samased kaksikintegraali vastavate omadustega. Funktsiooni z=f(x,y,z) kolmekordne integraal üle regulaarse piirkonna V võrdub kolmikintegraaliga üle sama piirkonna, s.t. . Keha ruumala arvutamine kolmekordse integraali abil. Kui integraalialune funktsioon d(x,y,z)=1, siis kolmekordse integraal üle
siis integraali b 2 x 2 x,y b 2 x 2 x,y IV dx dy f x, y, z dz f x, y, z dz dy dx a 1 x 1 x,y a 1 x 1 x,y nimetatakse kolmikintegraaliks üle piirkonna V. Näide 35. Arvutada funktsiooni u xyz kolmikintegraal üle piirkonna V, mida piiravad tasandid x 0, y 0, z 0, x y z 1. See piirkond on piiratud alt tasandiga z 0 (xy-tasand) ja ülalt tasandiga z 1 x y ning ta projektsioon xy-tasandil on piirkond D (vaata allpool olevat joonist) Seega 1 1 x 1 x y 1 1 x xyz 2 1 x y IV xyzdz dy dx 2
annaabi.ee 
