Sellist eraldiseisvat ehk isoleeritud punkti x-teljel nimetatakse samuti funktsiooni katkevuskohaks (näiteks x 2 -1 punkt x = 1 funktsiooni y = korral). x -1 Ühe katkevuskohaga (kohal x = 0) on pöördvõrdelist sõltuvust kirjeldav funktsioon 1 y= . Kui siin argumendi x väärtused lähenevad nullile, siis kasvavad funktsiooni x absoluutväärtusedtõkestamatult, s.t. piirväärtuseks on kas + või . Katkevuskohti võib funktsioonil olla ka lõpmatu palju. Näiteks funktsiooni y = tan x graafik katkeb iga paaritukordse kohal. 2 x Näide 3. Vaatleme funktsiooni y = . Funktsioonil x +1 11 puudub väärtus siis, kui x = 1. Funktsioonil x
Skitseerime teise tuletise graafiku ja loeme sellelt vastavad piirkonnad. 4 Graafiku nõgususpiirkond X = ] 3 ; [, X 4 4 kumeruspiirkond X = ]–; 3 [. X 3 Eespool jäi leidmata funktsiooni muutumispiirkond. Arvestades seda, et funktsioonil ei ole katkevuskohti ning lim ( x 3 4x 2 ) ja lim ( x 3 4x 2 ) x x saab öelda, et funktsiooni muutumispiirkonnaks on reaalarvude hulk: Y = R. Saadud tulemuste järgi skitseerime nüüd funktsiooni y = x3 – 4x2 graafiku. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 8 FUNKTSIOONI y = x3 – 4x2 GRAAFIK y
Funktsiooni, mille periood erineb nullist, nimetatakse perioodiliseks. Eespool toodud lihtsa siinusfunktsiooni valem: f(x) = Asin(x+) Kasutades trigonomeetrias tuntud kahe nurga summa valemit sin(+) = sin·cos+sin·cos saab selle valemi viia kujule: f(x) = acosx+bsinx kus a = Asin ja b = Acos Olgu f(x) funktsioon perioodiga 2, millel ei ole segmendil [-, ] rohkem kui lõplik hulk katkevuskohti ja mis on absoluutselt integreeritav sellel segmendil (siis ta on absoluutselt integreeritav igal segmendil). Selle funktsiooni Fourier' reaks nimetatakse avaldist: a 0 + ( an cos nx + bn sin nx ) + 2 n =1 Ja f ( x) ~ a + ( an cos nx + bn sin nx ) +
Seega b 10 dx = lim Sn = 10 · (b - a). n 0 a Definitsioon 9.4 Kui funktsioonil f leidub Riemann'i integraal, siis öeldakse, et funkt- sioon on integreeruv (Riemann'i mõttes). Teoreem 9.1 Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis ta on integreeruv (Riemann'i mõttes). Teoreem 9.2 Kui funktsioon f on määratud lõigus [a, b] ja tal on ülimalt lõplik arv katkevuskohti, siis ta on integreeruv (Riemann'i mõttes). 87 PEATÜKK 9. PINDALA JA RIEMANN'I INTEGRAAL 9.4 Määratud integraali omadused Kõigis järgnevates omadustes eeldame vaadeldavate integraalide olemasolu vastavas lõigus. Omadus 9.1 Kehtib seos b a
annaabi.ee 
