Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste.......
4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse regulaarseks, kui tema raja ┌ koosneb lõpilkust arvust pidevatest joontest tüüpi y=φ(x) või x=ψ(y). Regulaarset piirkonda D = {(x; y) | (a ≤ x ≤ b) ᴧ (φ(x) ≤ y ≤ ψ(x))} kus funktsioonid φ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a;b] nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes) Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist ,
D D Teoreem 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis f ( x, y )dxdy = f ( x, y )dxdy + f ( x, y )dxdy D D1 D2 2. Kahekordse integraali arvutamine (regulaarne piirkond, kaksikintegraal, teoreem kahekordse integraali ja kaksikintegraali vahelisest seosest tõestusega). Piirkonda, mis on regulaarne nii x- kui ka y-telje sihis, nimetatakse lihtsalt regulaarseks piirkonnaks. 2 ( x) b Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist f ( x, y )dy dx ,
2. Kui c on konstant, siis: 3. Kahe funktsiooni vahe kahekordne integraal on võrdne nende funktsioonide kahekordse integraalide vahega: 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon z=f(x,y) on pidev piirkonna D kõikides punktides, siis: 2. Kahekordse integraali arvutamine: regulaarse piirkonna definitsioon (+joonis); kaksikintegraali definitsioon; omadus 19.2. (kaksikintegraa1i tõkked) ja omadus 19.3. (keskväärtuse teoreem) tõestustega. Olgu xy-tasandil asetsev piirkond D selline, et iga sirge, mis on paralleelne ühe koordinaatteljega, näiteks y-teljega, ja läbib piirkonna sisepunkti, lõikab piirkonna rajajoont kahes punktis N 1 ja N2.
Sealjuures 1 ja 2 on lõigul a, b pidevad funktsioonid. Siis integraali b 2 x b 2 x ID dx f x, y dy f x, y dy dx a 1 x a 1 x nimetatakse funktsiooni f kaksikintegraaliks. See võrdus ütleb, et kaksikintegraali arvutamine toimub kahe määratud integraali arvutamise teel. Sisemises integraalis 2 x f x, y dy x 1 x vaadeldakse muutujat x konstandina ja arvutataks see integraal kui x:i funktsioon x. Seejärel arvutatakse juba integraal b ID x dx. a
1 (x) Siin on integreerimismuutujaks y ja muutujat x vaadeldakse integreeerimisel konstandina. Integreerimise tulemuseks on mingisugune muutuja x funkt- sioon (x). Teiseks arvutatakse nn v¨aline integraal b (x)dx a ja tulemuseks on arv. Tavaliselt kasutatakse kaksikintegraali esitamiseks kirjaviisi b 2 (x) ID = dx f (x, y)dy. (7.2) a 1 (x) N¨ aide 1. Arvutame kaksikintegraali 1 x2 ID = dx (x2 + y)dy. 0 0
annaabi.ee 
