tuletise leidmine tuletise mõitsest/definitsioonist lähtudes.
- Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus
argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle
funktsiooni muutumise kiirust selles punktis.
-
5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis!
- y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0)
6. Funktsiooni kasvamispiirkond, kahanemispiirkond ja ekstreemumid.
Kasvamispiirkonna, kahanemispiirkonna ja ekstreemumite seosed funktsiooni
tuletisega.
- Funktsiooni kasvamispiirkond on selline osa määramispiirkonnast, milles suuremale
argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. x1
I ja III sirge on teravnurk II ja IV sirge on nürinurk k - tan on tõus. Tõusunurga tangens k=tan =y2-y1/x2-x1 Joonepuutujaks nimetatakse lõikaja piiriasendit, kui lõikaja pöörleb läbides seda punkti ja punkt B läheneb punktile A mööda joont. Lõikaja AB pöörlemist ümber P saab puutujaks P(x0;y0)-puutepunkt tan= y/x k=y´ y-y0=f´(x0)(x-x0) k=f´(x0) Puutujavõrrandi leidmiseks on vaja leida puutujapunkt ja puutujatõus ning kasutada kimbuvõrrandit. Funktsiooni kasvamis-ja kahanemispiirkonna leidmine tuletise abil. Funktsioon y=f(x) on mingis vahemikus kasvav, kui selle funktsiooni tuletis on selles vahemikus positiivne Positiivsus piirkonna määramiseks tuleb lahendada võrratus f´(x)>0 Funktsioon on kahanev mingis vahemikus, kui tema tuletis selles vahemikus on negatiivne Selleks, et kahanemisvahemiku leida tuleb lahendada võrratus f´(x)<0 Punkt y=f(x) graafikul, kus toimub üleminek, kas kasvamiselt kahanemisele või kahanemiselt
moodustavad kõik need argumendi x
y 0
väärtused, mis on võrratuse lahendid.
y f x X
Funktsiooni kahanemispiirkonna
moodustavad kõik need argumendi x
y 0
väärtused, mis on võrratuse lahendid.
Kui f(x2)>=f(x1) (f(x2)=
4.8 Funktsiooni uurimine Kui funktsioon y = f ( x ) on antud ilma oma määramispiirkonnata X, tuleb see kõigepealt leida. Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonnaks (kahanemispiirkonnaks) nimetatakse tema määramispiirkonna X seda osa, milles iga x1 < x2 korral funktsiooni väärtused rahuldavad tingimust f ( x1 ) < f ( x2 ) (vastavalt kahanemisel f ( x1 ) > f ( x2 ) ). Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y > 0 ( y < 0) lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye = f ( xe ) funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks
4.8 Funktsiooni uurimine Kui funktsioon y f x on antud ilma oma määramispiirkonnata X, tuleb see kõigepealt leida. Funktsiooni y f x kasvamispiirkonnaks (kahanemispiirkonnaks) nimetatakse tema määramispiirkonna X seda osa, milles iga x1 x2 korral funktsiooni väärtused rahuldavad tingimust f x1 f x2 (vastavalt kahanemisel f x1 f x2 ). Funktsiooni y f x kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 y 0 lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye f xe funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav
14 Eelduse j¨argi f () > 0 ja punktide x1 ja x2 valiku t~ottu x2 -x1 > 0. J¨arelikult ka f (x2 ) - f (x1 ) > 0, st f (x2 ) > f (x1 ) ehk funktsioon on kasvav. Samal viisil on v~oimalik t~oestada j¨argmine teoreem. Teoreem 4. Kui f (x) on diferentseeruv piirkonnas X ja f (x) < 0 , siis funktsioon f (x) on selles piirkonnas kahanev. Teoreemid 3 ja 4 v~oimaldavad leida vastavalt funktsiooni kasvamispiir- konna X ja kahanemispiirkonna X N¨aide. Leiame funktsiooni y = x2 e-x kasvamis- ja kahanemispiirkonna. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X = R. Leiame tuletise y = 2xe-x - x e = xe-x (2 - x). Teoreemi 3 j¨argi saame kasvamispiirkonna tingimu- 2 -x sest xe-x (2 - x) > 0 ja teoreemi 4 p~ohjal kahanemispiirkonna tingimu- sest xe-x (2 - x) < 0. Et iga x R korral e-x > 0, siis esimene v~orratus on samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) > 0 ja teine samav¨a¨arne v~orratusega x(2 - x) < 0
annaabi.ee 
