Selle silindri põhjade jaoks En=0, külgpinna jaoks En = E(r). Järelikult E- joonte voog läbi kinnise pinna on E( r)2rh. o Kui r>R, siis siis satub pinna sisemusse laeng q=h, kus on joontihedus. Gaussi teoreemi kasutades, saame , millest . o Kui r < R, siis vaadeldav kinnine pind laenguid ei sisalda, E ( r)=0. Lõpmata pika laetud silindrilise pinna sisemuses väli puudub. Väljatugevus väljaspool pinda on määratud üksnes laengu joontihedusega ja kaugusega silindri teljest r. Negatiivselt laetud silindri väli erineb positiivselt laetud silindri väljast ainult vektori E suuna poolest. · Laetud sfäärilise pinna väli. Väli, mille tekitab ühtlase pindtihedusega laetud sfääriline pind raadiusega R. vektori E siht igas punktis läbib sfääri keskpunkti, väljatugevuse suurus aga on kera keskpunktist loetud kauguse r funktsioon. Kujutame sfäärilise pinna raadiusega r. selle pinna kõigi punktide jaoks En = E( r).
Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. 18. Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. 19. Defineerida esimest liiki joonintegraal. 20. Esimest liiki joonintegraali rakendusi. 1. Saab arvutada joone L pikkuse: ehk 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga. 21. Esimest liiki joonintegraali omadusi. 1) [F1 (P) + F2(P)]dL= F1(P)dL + F2(P)dL L L L 2) C F (P)dL = C F(P) kus C on konstant L L 3) Olgu joone otspunktid M ja N. Peale selle olgu Q mingi kolmas punkt sellel joonel.
Silinderpinna pindala. Olgu funktsioon z=f(x,y)0 pidev xy-tasandil asetseval joonel AB. Vertikaalse silinderpinna pindala avaldub valemiga . Joone mass. Kui joonel AB funktsioon z=f(x,y,z)0, siis on funktsioon z=f(x,y,z) tõlgendatav aine joontihedusena punktis P(x;y;z). Sellisel juhul korrutis on ligikaudu k-nda osakaare mass. Ligikaudu sellepärast, et tihedus f(x,y;z) on osakaarel muutuv suurus, siin aga on joontihedus osakaarel loetud võrdseks joontihedusega ühes osakaarel välja valitud punktis . Integraalsumma tähendab sel juhul joone AB ligikaudset massi ja see summa iseloomustab joone massi seda täpsemalt, mida lühemad on osakaared ehk mida suuremaks hulgaks osakaarteks on joon AB jaotatud. Esimest liiki joonintegraal annab meile funktsiooni f(x;y;z) mainitud tõlgenduse korral joone AB täpse massi. 9
maaparanduses ja mullatöödel kasutatavaid riistu ja masinaid. Niisugusteks on kännu- juurel (-rookur), ekskavaator, haarats- ja kopplaadur, buldooser, kallurauto ja traktori kallurhaagis. Kivivaalur (-vaaluti) on väikeste (kuni 30 cm) pinna- ja kuni 10 cm sügavuses ole- vate poolpeitkivide laus- ja laikkoristuse haake-, ripp- või poolrippmasin. Selle töö tu- lemusena moodustub kivivaal laiusega 1,0...1,5 m ning tüsedusega (joontihedusega) kuni 50 kg/m. Kivivaalurid võivad olla passiivsed ja aktiivsed. Passiivvaaluri, mida saame nimetada ka vaalutiks, tööseadiseks on liikumissihi suhtes nurgi paiknev kammpiistik, mis mullas liikudes kammib sellest kivid välja ning koos pinnakividega suunab masina liikumissihilisse vaalu. Passiivvaalur võib olla ühe- või kahepoolse tööseadisega, seega pikitelje suhtes ebasümmeetriline või sümmeetriline. Joonis 1
2 Loomulikult j¨a¨avad kehtima ka k~oik viis loetletud esimest liiki jooninteg- raali omadust. Kui joonel AB funktsioon f (x, y, z) 0, siis on funktsioon f (x, y, z) t~olgendatav aine joontihedusena punktis P (x, y, z). Sellisel juhul korrutis f (Qk )sk on ligikaudu k-nda osakaare mass. Ligikaudu sellep¨arast, et tihe- dus f (x, y, z) on osakaarel muutuv suurus, siin aga on joontihedus osakaarel loetud v~ordseks joontihedusega u ¨hes osakaarel v¨alja valitud punktis Qk . Integraalsumma (7.1) t¨ahendab sel juhul joone AB ligikaudset massi ja see summa iseloomustab joone massi seda t¨apsemalt, mida l¨ uhemad on osakaared ehk mida suuremaks hulgaks osakaarteks on joon AB jaotatud. Esimest liiki joonintegraal (7.2)annab meile funktsiooni f (x, y, z) mainitud t~olgenduse korral joone AB t¨apse massi. 7.2 Esimest liiki joonintegraali arvutamine Olgu tasandilise joone AB parameetrilised v~orrandid
annaabi.ee 
