26) I kus C on keha inertsimoment etteantud teljega paralleelse ja masskeset läbiva telje suhtes, m selle keha mass ning a tema masskeskme kaugus sellest etteantud teljest. 6.7 Mõningate lihtsamate kehade inertsimomentide arvutamine 6.7a Homogeense varda inertsimoment varda keskpunkti suhtes. Olgu meil varras pikkusega l ja massiga m. Defineerime varda joontiheduse kui pikkusühiku kohta tuleva massi, mis arvutatakse m = . l Eraldame vardast lõpmata väikese joonelemendi pikkusega dx, mis asub varda masskeskmest O kaugusel x. Tema mass on dm = dx , inertsimoment punkti O läbiva telje suhtes dI = x 2 dm = x 2dx . Siis varda kui terviku inertsimoment avaldub integraalina l 2 x 3 ml 2 I = x 2 dx = = . l 12 12 - 2 dx C x
(Cauchy ülesandel on vähemalt üks lahend).3. Isokliin. DV geomeetriline lahendamine. Geomeetriliselt tähendab y`(x0) joonele y=y(x) punktis x0 tõmmatud puutuja tõusu: y`(x0)=tan . Esimest järku DV geomeetriline interpretatsioon: võrrandiga y`=f(x,y) antakse suvalise punkti (x,y)D korral seda punkti läbiva integraalkõvera puutuja tõus f(x,y). DV graafiline lahendamine: Võtamepiirkonnas D mingi punktide võrgu ja igas väljavalitud punktis (x,y) joonistame välja vastava joonelemendi, kriipsukese tõusuga f(x,y). Kui punktivõrk on küllalt tihe on nüüd võimalik ligikaudselt välja joonistada võrrandi y`=f(x,y) integraalkõveraid puutudes joonelemente. Isokliin- joon , mille kõikides punktides on DV y`=f(x,y) joonelementidel üks ja seesama tõus. F(x,y)=k 4.Eraldatud muutujatega DV M(x)dx+N(y)dy=0 (1), kus M(x) sõltub ainult x-st või on konstant; N(y)- sõltub ainust y või on konstant. Lahendamine: M(x)dx+N(y)dy=0(2) * Tõestame et esiteks: (1)(2)* Olgu
selle keha mass ning a tema masskeskme kaugus sellest etteantud teljest. 6.7 Mõningate lihtsamate kehade inertsimomentide arvutamine 6.7a Homogeense varda inertsimoment varda keskpunkti suhtes. Olgu meil varras pikkusega l ja massiga m (vt. joonis järgmisel leheküljel). Defineerime varda joontiheduse kui pikkusühiku kohta tuleva massi, mis arvutatakse m . l Eraldame vardast lõpmata väikese joonelemendi pikkusega dx, mis asub varda masskeskmest C kaugusel x. Tema mass on dm dx , inertsimoment punkti C läbiva telje suhtes (joonisel vertikaalne katkendjoon) on dI x 2 dm x 2dx . Siis varda kui terviku inertsimoment avaldub integraalina l 2 l 3 ml 2 I x 2 dx . l 12 12 2
Väli peab aga olema siis tsentraalsüm- meetriline, mis ajas ei muutu. Selline on vorm harmoonilistes koordinaatides. (Silde 1974, 165-169) 119 3.2.2.3 Reissner-Nordströmi meetrika Tehes aga veel mõningaid tensorarvutusi, saame viimasest seosest järgmise kuju: kus R on Schwarzschildi raadius ja ning konstant on kus ühikuks on SI. Ehk saame välja kirjutada nüüd selle nii: Sellist välja ( joonelemendi ruutu ) nimetatakse Nordströmi väljaks. Siin on näha seda, et peale massi ,,kõverdab aega ja ruumi" ka massi elektrilaeng. See näitab ühtlasi ka seda, et must auk võib tekkida ka näiteks elektriliselt laetud ainest. Ka elektriliselt laetud aine võib tekitada aegruumi kõverdumist. See võrrand näitab ka kahe üksteise sees oleva horisondi teket. Füüsikaline põhjendus sellele, et miks elektrilaeng samuti mõjutab aegruumi nagu seda teeb
on võimeline aegruumi struktuuri mõjutama. 4. Reissner-Nordströmi meetrika Schwarzschildi meetrilisest võrrandist saadakse järgmine võrrand, kui sooritatakse veel mõningaid tensorarvutuste ülesandeid: kus R on Schwarzschildi raadius ja elektrilaeng on seotud β-ga järgmiselt kus omakorda konstandi ϰ väärtus on Ühikuks on siin SI. Ja lõpuks saame välja kirjutada nüüd selle esimese võrrandi nõnda: Sellist välja ( joonelemendi ruutu ) nimetatakse Nordströmi väljaks. Siin on näha seda, et peale massi kõverdab aega ja ruumi ka veel keha elektrilaeng. See näitab ühtlasi ka seda, et must auk võib tekkida ka näiteks elektriliselt laetud ainest. Ka elektriliselt laetud aine võib tekitada aegruumi kõverdumist. See võrrand näitab ka kahe üksteise sees oleva horisondi teket, mis tähendab seda, et kui füüsikalisel kehal on mass ja ka elektrilaeng, siis tal on olemas kaks raadiust:
annaabi.ee 
