F ( x) P( X x) , (4.12) kus X on juhusliku suuruse sümbol ja x on juhusliku suuruse konkreetne võimalik väärtus. Jaotustihedus Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Jaotusfunktsioon annab ammendava info juhusliku suuruse kohta, kuid ta ei näita otseselt juhusliku suuruse jaotumise tihedust ühes või teises piirkonnas. Seepärast kasutatakse pidevate juhuslike suuruste puhul ka jaotusfunktsiooni tuletisfunktsiooni, mida nimetatakse jaotustiheduseks: dF ( x ) f ( x) . dx Jaotustihedus näitab jaotuse tihedust punkti x ümbruses. Jaotustiheduse graafikut nimetatakse jaotuskõveraks. Jaotuskõvera näide on esitatud joonisel 4.4. Juhusliku suuruse arvkarakteristikud Jaotusseadus iseloomustab juhuslikku suurust täielikult. Teades jaotusseadust võib määrata kõik ülejäänud juhusliku suuruse karakteristikud. Kuid paljude praktiliste
0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Tõenäosus, et juhuslik suurus omandaks väärtusi lõigul , , on võrdne jaotusfunktsiooni muuduga sellel lõigul P X = F(β) - F(α). 1. Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon. Kui x1 < x2, siis F(x1) ≤ F(x2). 2. F( - ) = 0, kuna A = (X < - ) on võimatu sündmus ja F( + ) = 1, kuna B = (X < + ) on kindel sündmus. 2.4 Pideva juhusliku suuruse jaotustihedus Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on funktsioon f(x), mis on tuletis jaotusfunktsioonist F(x). F ( x) f(x) = F´(x) = lim . x Omadused: 1. f(x) ≥ 0, kuna F(x) on mittekahanev funktsioon lõigul [0,1]. x 2. F(x) = f ( x ) dx . 3. f ( x ) dx = 1,( vaata eelmise punkti omadust 4). x2 4
= lim∆ ∆ = ( ) = ( ). Pideva juhusliku suuruse vahemikku (x,x+∆x) sattumise tõenäosuse ja selle vahemiku ∆x suhte piirväärtust, kui ∆x läheneb nullile, nimetatakse juhusliku suuruse jaotustiheduseks punktis x. 16. Pideva juhusliku suuruse karakteristlik funtsioon. Tema seos tihedusfunktsiooniga. Keskväärtuse ja dispersiooni leidmine karakteristliku funktsiooni abil Juhusliku suuruse X karakteristlik funktsioon gX(t) = E(eitx) = ∫ ( ) Seos tihedusfunktsiooniga: ( ) = ∫ ( ) ( ) ( ) ( )=
Tõestada, et
P(X=x0)=0, kus x0 on mistahes fikseeritud arv. Osata kontrollida, kas etteantud
funktsioon f(x) saab olla mingi pideva juhusliku suuruse jaotustihedus.
Definitsioon. Juhuslikku suurust, mille jaotusfunktsioon F(x) = P(X
Kui funktsioon F(x) on diferentseeruv, siis minnes võrduses piirile ∆x→0, saame P (x< X < x+ ∆ x) F ( x +∆ x )−F (x) lim = lim =F ' ( x )=f ( x ) . Pideva ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x juhusliku suuruse vahemikku (x,x+∆x) sattumise tõenäosuse ja selle vahemiku ∆x suhte piirväärtust, kui ∆x läheneb nullile, nimetatakse juhusliku suuruse jaotustiheduseks punktis x. 15. Pideva juhusliku suuruse karakteristlik funtsioon. Tema seos tihedusfunktsiooniga. Keskväärtuse ja dispersiooni leidmine karakteristliku funktsiooni abil ∞ Juhusliku suuruse X karakteristlik funktsioon gX(t) = E(eitx) = ∫ e itx f ( x ) dx −∞
· F(x1)F(x2)
· F(-)=0
· F()=0
Juhusliku suuruse mingisse etteantud vahemikku sattumise tõenäosus võrdub jaotusfunktsiooni
juurdekasvuga selles vahemikus: p( X < ) = F() - F().
Jaotustihedus: Olgu olemas pidev juhuslik suurus X, mille jaotusfunktsiooniks on F(x). Tõenäosus, et
juhuslik suurus satub vahemikku x...x+x:
p(x < X < x+x) = F(x+x) F(x).
Jagame selle tõenäosuse vahemiku pikkusega x ja ja lähendame x nullile. Jaotusfunktsiooni tuletist
nimetatakse jaotustiheduseks ja tähistatakse f(x). Juhusliku suuruse mingisse vahemikku sattumise
tõenäosus leitakse f(x) abil nii:
p( < X < ) = f(x)dx
Juhuslikue suuruste arvkarakteristikud:
Asendikarakteristikud : matemaatiline ootus ehk keskväärtus
diskreetsel suurusel: mx=E[X] = M[X] = i=1nxipi
pideval suurusel : E[X] = -x*f(x)dx
Keskväärtus ja mood ;
Mediaan juhusliku suuruse mediaan on tema väärtus Me, mille puhul p(X
annaabi.ee 
