integraalsummaks. DEF. Kui sellest integraalsummast i eksisteerib piirväärtus (), mis ei sõltu lõigu [a,b] tükeldustest ega punktiks i valikust i osalõigust, siis seda nim. määratus integraaliks ehk: Sellest järeldub, et kui a=b, siis . Tõestus. cR, f(x)=c, x[a,b]. Kui f(x)C[a,b], siis f(x) on alati integreeruv lõigul [a,b] ehk f(x)I[a,b]. Kuna ja on konstandid ja f(x) ja g(x) I[a,b], siis eksisteerivad piirväärtused mõlemast eraldi. Kui lõigu [a,c] üheks jaotuspunktiks on b, siis saame jagada integraalsumma kaheks osaks. Tõestus. Kui valida integraalsumma jaoks sama tükelduse ja samad punktid i, siis saame: Tõestus. Olgu f(x) integreeruv lõigul [a,b]. Et f(x)I[a,b]|f(x)|I[a,b] ja lause 2 põhjal |f(x)|I[a,b]-|f(x)|I[a,b] ning -|f(x)|f(x)|f(x)|, x[a,b] ning lausete 2 ja 4 abil saame selle välja kirjutada nii . 2.13 Integraal ülemise raja funktsioonina f(x)I[a,b]f(x)I[a,c], cb. Võtan kasutusle abifunktsiooni G(x)[a,b]. DEF1. x[a,b] Tõestus
a λ→0 k=1 λ→ 0 k=1 λ →0 k=1 Omadus 5. Määratud integraali aditiivsuse omadus lõigul b c b ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx . a a c Tõestus Oletame, et c asub lõigul [a ; b] . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks c . Seejärel jätkates lõigu [a ;b] jaotamist tekivad lõikudel [a ; c] ja [c ; b] omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu [a ; b] ulatuses on ∑ f ( ξ k ) ∆ x k= ∑ f ( ξ k ) ∆ x k + ∑ f ( ξ k ) ∆ x k . [a ;b ] [a ; c] [c ;b] Kui lõigul [a ; b] suurima osalõigu pikkus λ → 0 , siis mõlemal tekkinud lõigul suurimate osalõikude pikkused lähenevad nullile
a λ→0 k=1 λ→ 0 k=1 λ →0 k=1 (L. Pallas) Omadus 5. Määratud integraali aditiivsuse omadus lõigul b c b ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx . a a c Tõestus Oletame, et c asub lõigul [a ; b] . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks c . Seejärel jätkates lõigu [a ; b] jaotamist tekivad lõikudel [a ; c] ja [c ; b] omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu [a ; b] ulatuses on ∑ f (ξ k ) ∆ xk= ∑ f (ξ k ) ∆ xk + ∑ f ( ξ k ) ∆ xk . [a ;b ] [a ; c] [c ;b] 9 Kui lõigul [a ;b] suurima osalõigu pikkus λ → 0 , siis mõlemal tekkinud lõigul suurimate
b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a < c < b. Defineerides vasakul asuvat m¨a¨aratud integraali jaotame l~oigu [a; b] osal~oikudeks, valides esimeseks jaotuspunktiks c. Seda v~oib teha, sest m¨a¨aratud integraali definit- sioonis piirv¨aa¨rtus ei v~oi s~oltuda sellest, kuidas on l~oik osal~oikudeks jaotatud. J¨atkates l~oigu [a; b] jaotamist suvalisel viisil, tekivad ka l~oikude [a; c] ja [c; b] jaotused osal~oikudeks. Seega integraalsumma u ¨le kogu l~oigu [a; b] f (k )xk = f (k )xk + f (k )xk .
b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c T~oestus. Oletame esiteks, et c asub l~oigul [a; b], st a < c < b. Defineerides vasakul asuvat m¨a¨aratud integraali jaotame l~oigu [a; b] osal~oikudeks, valides esimeseks jaotuspunktiks c. Seda v~oib teha, sest m¨a¨aratud integraali definit- sioonis piirv¨aa¨rtus ei v~oi s~oltuda sellest, kuidas on l~oik osal~oikudeks jaotatud. J¨atkates l~oigu [a; b] jaotamist suvalisel viisil, tekivad ka l~oikude [a; c] ja [c; b] jaotused osal~oikudeks. Seega integraalsumma u ¨le kogu l~oigu [a; b] f (k )xk = f (k )xk + f (k )xk .
annaabi.ee 
