2. Arvutan integraal Simpsoni valemiga. Lahendus: Kontrollimiseks arvutan täpse väärtuse Newton-Leibnizi valemiga 1 1 e dx e | 1,718. x x 0 0 Edasi jaotan lõigu [0, 1] neljaks osaks ehk n=4, siis ühe osalõigu pikkus 1 0 h 0,25 4 ja jaotuspunktideks on punktid x0=0, x1=0,25, x2=0,5, x3=0,75 ja x4=1. Seega Simpsoni valemi järgi: 1 1 0 0 1 1 0 e dx 3 4 e e 4(e e ) 2e 12 1 2,718 4(1,284 2,117) 2 1,649 1,718. x 0, 25 0, 75 0,5 5
2 x3 8 j¨argi x dx = = = 2, (6). 0 3 0 3 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu 2-0 [0; 2] neljaks osal~oiguks, st v~ottes n = 4. Siis u ¨he osal~oigu pikkus h = = 4 0, 5 ja jaotuspunktideks on punktid x0 = 0, x1 = 0, 5, x2 = 1, x3 = 1, 5 ja x4 = 2. Arvutame jaotuspunktides funktsiooni f (x) = x2 v¨a¨artused y0 = 0, y1 = 0, 25, y2 = 1, y3 = 2, 25 ja y4 = 4. Trapetsvalemi (5.17) p~ohjal 2 x2 dx 0, 25(0 + 2 · 0, 25 + 2 · 1 + 2 · 2, 25 + 4) = 2, 75. 0 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu [0; 2] kaheksaks osal~oiguks. Siis u
. . , xi−1, x′, xi, . . . , xn] vastav ülemsumma S (T′) on kujul , siis , mistõttu Analoogiliselt saab näidata, et , Ükski alamsumma ei ole suurem ühestki ülemsummast, s.t. suvaliste T, T′ ∈ korral s (T′) ≤ S (T) . Tõestus. Olgu T ja T′ lõigu [a, b] kaks suvalist alajaotust, moodustame kolmanda alajaotuse T′′ nii, et selle jaotuspunktideks on parajasti kõik jaotustesse T ja T′ kuuluvad jaotuspunktid. Siis T′′ on peenem mõlemast alajaotustest T ja T′, mistõttu omadusest 11.1 saame võrratused s (T′) ≤ s (T′′) ≤ S (T′′) ≤ S (T) . Lause on tõestatud. Defineerida Darboux ülem- ja alamintegraal ja (Darboux' mõttes) integreeruvad funktsioonid Iga ülemsumma S (T) on kõigi alamsummade hulga {s (T) | T ∈ } ülemine tõke
5.2.2 Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad, nende omadused Kõigepealt lepime kokku, et kahe alajaotuse T, T ′ ∈ T puhul mõistame me sisalduvuse T ⊆ T ′ all nende jaotuspunktide sisalduvust, s.t. alajaotuse T iga jaotuspunkt on ka alajaotuse T ′ jaotuspunkt. Sel juhul ütleme, et T ′ on peenem kui T , antud alajaotusele uute jaotuspunktide lisamisel kõneleme alajaotuse peenendamisest. Teiseks, me kirjutame allpool T ′′ = T ∪ T ′ , kui alajaotuse T ′′ jaotuspunktideks on para- jasti need arvud, mis on kas T või T ′ jaotuspunktid. Funktsiooni f : [a, b] → R integreeruvuse uurimisel on integraalsumma σ (T, ξ) kõrval kasulik vaadelda sellest oluliselt lihtsamaid Darboux’ summasid. Eeldame, et f on lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon, siis eksisteerivad M := sup f (x) ning m := inf f (x) . x∈[a,b] x∈[a,b] Olgu T [x0 , . .
2 x3 8 j¨argi x dx = = = 2, (6). 0 3 0 3 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu 2-0 [0; 2] neljaks osal~oiguks, st v~ottes n = 4. Siis u ¨he osal~oigu pikkus h = = 4 0, 5 ja jaotuspunktideks on punktid x0 = 0, x1 = 0, 5, x2 = 1, x3 = 1, 5 ja x4 = 2. Arvutame jaotuspunktides funktsiooni f (x) = x2 v¨a¨artused y0 = 0, y1 = 0, 25, y2 = 1, y3 = 2, 25 ja y4 = 4. Trapetsvalemi (5.17) p~ohjal 2 x2 dx 0, 25(0 + 2 · 0, 25 + 2 · 1 + 2 · 2, 25 + 4) = 2, 75. 0 Arvutame sama integraali trapetsvalemi abil, jagades integreerimisl~oigu [0; 2] kaheksaks osal~oiguks. Siis u
annaabi.ee 
