2. Korrutame arvu 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi lõppu; 3. Siis korrutame arvu 1; 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi ette; 4. Lahutame tulemused; 5. Jagame mõlemad pooled läbi x ees oleva arvuga. Lahendus: tähistame x= 1,2(43) 1000x=1243,4343... _ 10x= 12,4343... 990x= 1231 X= 1231 = 1 241 990 990 IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. näiteks 2=1,4142135623373... ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Järelikult on irratsionaalarv. Irratsionaalarvud on veel 32; 53; -7; jt. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt
Murdudega seoses kasutatakse mõisteid harilik murd, liigmurd ja lihtmurd. On ka veel kümnendmurd. Kümnendmurd on murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene koht pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt: I x I = x, kui x ≥ 0 I x I = -x, kui x < 0 Nt. I 3 I = 3 ; I -5 I = 5 ; I 0 I = 0
· Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14 · Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1.3 Arvuhulkade omadusi
Järeldus 1.24 inf 1 n | n ∈ N = 0. Tõestus. Archimedese printsiibi kohaselt saab iga ε > 0 jaoks leida niisuguse n ∈ N, et 1 n > ε ehk n < ε. Seega inf n1 | n ∈ N = 0. 1 Lihtne on veenduda, et iga kahe reaalarvu vahel leidub veel reaalarve (selgitada!)z. Te- gelikult kehtib järgmine tugevam väide, mis ütleb, et nii ratsionaalarvud kui ka irratsionaal- arvud paiknevad reaalarvude hulgas R tihedalt. Teoreem 1.25 Olgu a ja b niisugused reaalarvud, et a < b. (a) Leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. (b) Leidub niisugune irratsionaalarv ρ, et a < ρ < b. 1 Tõestus. (a) Kuna a < b, siis b−a > 0, Archimedese printsiibi kohaselt leidub selline 1 n ∈ N, et n > b−a ehk 1
kuulsad arvud tantse kiirendusega läbitud teepikkuse leidmiseks. Muidugi, vaesed peastlugejad peaksid siis jälle nullist alustama... Sarnaselt arvuga tähistab ühte kindlat arvu – 2,718281828459045236028747135266249775724709369995... Täies uhkuses teda siia kahjuks kirja panna ei saa, kuna tegemist on irratsionaal- arvuga [lk 87]. Õigupoolest pole see ka täpne arvude järjestus, milles matemaatikud suurt ilu näeksid. Arvu tähtsus ja ilu seisneb pigem tema mitmenäolisuses. Ta vaatab välja mitmest erinevast matemaatika harust ja loob nende vahel üllatavaid seoseid. Kus e esile tuleb?
annaabi.ee 
