1. aa f(x)dx=0. 2. Kui a > b siis ab f(x)dx = - ab f(x)dx. Järgnev võrdsus väidab et intregreerimislõikude liitmisel integrallide väärtused liituvad: 3. ac f(x)dx = ab f(x)dx + bc f(x)dx. Summa integraal võrdub integraalide sumaaga ja kontstandi võib integraali märgi alt välja tuua: 4. ab[f(x)+g(x)]dx = b b b b a f(x)dx + a g(x)dx. 5. a Cf(x)dx = Ca f(x)dx, C-konstant. Võrratus mida rahuldavad kaks funktsiooni laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: Kui a b ja f(x) g(x) iga x [a;b] korral siis abf(x)dx abg(x)dx. Järgnev omadus kannab nimetust 9 integraali keskväärtusteoreem: 7. Lõigul [a,b] leidub vähemalt üks punkt c nii et: b b a f(x)dx = f(c) a dx = f(c) (b-a). 46. Muutuja vahetus määratud integraalis: Asendusvõte. Vaatleme määratud integraali abf(x)dx (5.15). Teeme integraali (5
punktist a punkti b ning punktist b punkti c on vastavalt ʃ b a F(x)dx ning R c b F(x)dx. Seega, kui objekt liigub punktist a üle punkti b punkti c, on jõu poolt tehtud kogutöö võrdne summaga ʃ b a F(x)dx + ʃ c b F(x)dx. Kuid teisest küljest on jõuvälja poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti c võrdne ka integraaliga R c a F(x)dx. Seega saamegi valemi ʃ c a F(x)dx = ʃ b a F(x)dx + ʃ c b F(x)dx. Võrratus, mida rahuldavad kaks funktsiooni, laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: 6. Kui a ≤ b ja f1(x) ≤ f2(x) iga x ∈ [a, b] korral, siis ʃ b a f1(x)dx ≤ R b a f2(x)dx. Põhjendus. Jõufunktsioonide F1(x) ja F2(x) poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b on vastavalt R b a F1(x)dx ja R b a F2(x)dx. Kui F1(x) ≤ F2(x) ja läbitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on jõu F2 poolt tehtud töö suurem või võrdne jõu F1 poolt tehtud tööst, st ʃ b a F1(x)dx ≤ ʃ b a F2(x)dx. Teoreem 5.2 (Integraali keskväärtusteoreem)
Kuid teisest k¨uljest on j~ouv¨alja poolt c tehud t¨o¨o liikumisel punktist a punkti c on v~ordne ka integraaliga a F (x)dx. Seega saamegi valemi c b c F (x)dx = F (x)dx + F (x)dx. a a b V~orratus, mida rahuldavad kaks funktsiooni, laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: b b 6. Kui a b ja f1 (x) f2 (x) iga x [a, b] korral, siis a f1 (x)dx a f2 (x)dx. P~ohjendus. J~oufunktsioonide F1 (x) ja F2 (x) poolt tehtud t¨o¨od liikumisel b b punktist a punkti b on vastavalt a F1 (x)dx ja a F2 (x)dx. Kui F1 (x) F2 (x) ja l¨abitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on j~ou F2 poolt tehtud t¨o¨
punkti c v~ordne ka integraaliga a F (x)dx. Seega saamegi valemi c b c F (x)dx = F (x)dx + F (x)dx. a a b V~orratus, mida rahuldavad kaks funktsiooni, laieneb ka nende funktsioonide integraalidele: b b 6. Kui a b ja f1 (x) f2 (x) iga x [a, b] korral, siis a f1 (x)dx a f2 (x)dx.
annaabi.ee 
