Iseseisev töö nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil. Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Leida tundmatute parameetrite X ja Y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Kuna mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega, siis paregusel juhul neid arvestama ei pea ja kaalumaatriksit arvutustes kasutada ei ole vaja. Vastavalt ette antud võrranditele kirjutame välja maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute muutujate X ja Y kordajatest ning paremal pool võrdusmärki asetsevatest suurustest (mõõtmistulemustest). Tabel 1. Maatriks A 1 2 2 -3
Praktikum nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil. Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Kõigepealt tuleb meil ülesande lahendamiseks leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Arvestada tuleb ka, et mõõtmistulemused on vastavalt kaaludega 6, 4 ja 3. Ülesande lahendamiseks peame parameetriliste võrrandite abil koostama maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute ees asetsevatest kordajatest ja paremal pool võrdusmärki asetsevatest väärtustest. Lisaks veel mõõtmistulemuste kaaludest moodustatud kaalumaatriks W (Tabel 3). Tabel 1. Maatriks A 3 2 2 -3 6 -7 Tabel 2. Maatriks L
o Antud ülesannet nimetatakse tingliku ekstreemumi ülesandeks ja selle ülesande lahendeid tinglikeks ekstreemumiteks. Võrrand (2) määrab teatud joone xy- tasandil. Lihtsuse mõttes eeldame, et joon g(x; y) = 0 on kinnine, st tema alg- ja lõpp-punkt ühtivad. Geomeetriliselt tähendab tingliku ekstreemumi ülesande lahendamine funktsiooni z = f(x; y) graafiku madalaima ja kõrgeima punkti leidmist joone g(x; y) = 0 kohal 2. Vähimruutude meetod Suurust x nimetatakse sõltumatuks suuruseks ja suurust y sõltuvaks suuruseks. Eesmärgiks on leida "parimat" x ja y vahelist seost iseloomustava funktsiooni võrrandit, mille saamiseks kasutatakse vähimruutude meetodit. Leitakse selline funktsioon, mille puhul vaatlusest saadud punktide ja seost kirjeldava funktsiooni sirge vaheliste kauguste (hälvete, vigade) ruutude summa oleks minimaalne:
Praktikum nr 5. Nivelleerimisvõrgu tasandamine. Ülesanne 1. Tabelis 1 on antud lahtise nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Lähtepunktide kõrgused on HA=34,286 m ja HB= 41,522 m. Koostada mõõtmistulemuste võrrandid ja maatriksid ning leida tundmatute punktide kõrgused ja standardhälbed ning mõõtmistulemuste parandid vähimruutude meetodil. Koostada tasandustulemuste koondtabel(Tabel 10). Tabel 1.Nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Vastavalt lähteandmetele koostame parameetrilised võrandid geomeetrilise v nivelleerimise prototüüpvõrrandi Hj-He=ΔHej+ ΔH eeskujul. Vastavalt saame neli ej parameetrilist võrrandit: H1-HA=2,179+v1 H2-H1=3,243+v2 H3-H2=-3,797+v3 HB-H3=5,608+v4
muutuja Y keskväärtuse ja eksogeensete ehk sõltumatute muutujate Xi vahel. Võrrandi vasakul pool on tinglikud keskväärtused, mis ei sõltu juhusest 4. Stohhastiline regressioonivõrrand. Juhuslik komponent (regressioonijääk). Visualiseerimine (joonis). Stohhastiline regressioonivõrrand sisaldab juhuslikku liiget i Juhuslik liige i kirjeldab juhuslikke hälbeid endogeense (sõltuva) muutuja keskväärtusest Yi= E(YXi) + i ehk Yi= 0+ 1Xi+ i 5. Vähimruutude meetod, olemus, visualiseerimine. Vähimruutude meetod on regressioonimudeli parameetrite hindamise enamkasutatav meetod. Eesmärgiks on leida regressioonimudeli parameetrid (a0ja a1) selliselt, et juhusliku suuruse Y mõõdetud väärtuste Yi ja regressioonimudeli abil määratud hinnangute i hälvete (jääkliikmete) ruutude summa oleks minimaalne OLEMUS: · Et funktsioon S saavutaks miinimumi, peavad tema osatuletised parameetrite a0 ja a1 suhtes võrduma nulliga
w xx wxy c) Peadeterminant H1=wxx=?, H2= =? w yx w yy d) vaatan tabelit: H2 > 0 H2 < 0 H2 = 0 H1 > 0 H1 < 0 Lok MIN Lok MAX - f = f ( P) - f ( A) = ± ? Fmin = f(A) Fmax = f(A) 3)Ekstremaalne väärtus? wmin/max=w(A) 4)Geom tõlgendus graafik muutujad ruudus II j alge.pind lõigete meetod Vähimruutude meetod Empiiriline valem: valem y = f(x), mis väljendab mingi katse tulemusena saadud kahe suuruse x ja y vahelist ligikaudset sõltuvust. Vähimruutude meetod: see on üks võimalus, mille kaudu saab leida võimalikult head empiirilist valemit y = f(x). Põhiideeks on leida valemis esinevad arvkordajad nii, et valemi põhjal arvutatud suuruste f(xi) ja katseandmete yi vahede ruutude summa oleks minimaalne. Erinevaid lähendfunktsioone: o Lineaarfunktsioon y = ax + b
annaabi.ee 
