Nimelt on nad teineteise pÖÖrdarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Niisiis olgu lõpmatult kahanev, st 0. Me peame tõestama, et suurus = on lõpmatult kasvav, st| | =|| . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb meil nÄidata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse väärtus M nii, et kõik M-le jÄrgnevad väärtused rahuldavad võrratust || > M. Fikseerimegi mingi positiivse arvu M ja kasutame eeldust 0. Vastavalt piirprotsessi 0 definitsioonile eksisteerib suvalise kuitahes vÄikese positiivse arvu korral selline suuruse väärtus nii, et kõik -le jÄrgnevad väärtused rahuldavad võrratust|| < . Kuna viimases lauses võib " olla suvaline positiivne arv, saame me valida = . Siis kehtivad kõigi -le jÄrgnevate väärtuste korral jÄrgmised seosed: || < ||M < 1 1| |> M | | > M ||> M M =
Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõestus: Olgu lõpmatult kahanev ja tõkestatud. Me peame näitama, et sellisel juhul on samuti lõpmatult kahanev, st . Vastavalt definitsioonile tuleb näidata, et suvalise kuitahes väikese positiivse arvu korral leidub selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Fikseerimegi mingi pos. arvu ja kasutame eeldusi ja kohta. Kuna , siis suvalise pos. arvu korral leidub selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Peale selle, kuna on tõkestatud, siis leidub K > 0 nii, et kõik suuruse väärtused rahuldavad võrratust . Kuna võib olla suvaline pos. arv, võime valida . Järgmiseks valime nii, et , kus on mingisugune väärtus. Siis iga -le järgneva väärtuse korral kehtivad seosed
on opmatult kasvav, st || = . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile (vt §2.1) tuleb l~ 1 meil n¨aidata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse v¨a¨ artus M nii, et k~ oik M -le j¨ argnevad v¨ a¨ artused rahuldavad v~orratust || > M . Fikseerimegi mingi positiivse arvu M ja kasutame eeldust 0. Vastavalt piirprotsessi 0 definitsioonile (vt §2.1) eksisteerib suvalise kuitahes v¨ aikese positiivse arvu korral selline suuruse v¨ aa¨rtus nii, et k~ oik -le j¨ argnevad v¨a¨artused rahuldavad v~ orratust || < . 1 Kuna viimases lauses v~ oib olla suvaline positiivne arv, saame me valida = M . Siis
Niisiis olgu l~ opmatult kahanev, st 0. Me peame t~ oestama, et suurus = on 1 l~ opmatult kasvav, st || = . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile (vt §2.1) tuleb meil n¨aidata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse v¨a¨ artus M nii, et k~ oik M -le j¨ argnevad v¨ aa ¨rtused rahuldavad v~orratust || > M . Fikseerimegi mingi positiivse arvu M ja kasutame eeldust 0. Vastavalt piirprotsessi 0 definitsioonile (vt §2.1) eksisteerib suvalise kuitahes v¨ aikese positiivse arvu korral selline suuruse v¨ a¨artus nii, et k~ oik -le j¨ argnevad v¨aa¨rtused rahuldavad v~ orratust || < . 1 Kuna viimases lauses v~ oib olla suvaline positiivne arv, saame me valida = M . Siis
annaabi.ee 
