(aX)T = aXT : 3. Mistahes X Mat(p, q) ja Y Mat(q,r ) korral (XY )T = YTXT : PERMUTATSIOON: Kõigi permutatsioonide hulga tähiseks on P(x1, x2, x3...xn). Hulga n kõigi permutatsioonide hulga tähiseks on Pn või P(1, 2, . . . , n). Permutatsioon Hulga H = {x1, x2, x3...xn}(Näiteks H = n) elementide ümberjärjestust, milles hulga H iga element esineb täpselt 1 kord, nim hulga H permutatsiooniks Loomulik permutatsioon permutatsioon 1,2,3,...,n hulgas Nn Inversioon Öeldakse, et elemendipaar (ai, aj) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv ai on suurem kui aj. Inversioonide arvu tähiseks permutatsioonis _1, _2, . . . , _n on I (_1, _2, . . . , _n). Paaritu permutatsioon permutatsiooni nimetatakse paarituks permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaritu Paaris permutatsioon - permutatsiooni nimetatakse paaris permutatsiooniks, kui tema inversioonide arv on paaris OMADUSED: 1) Hulga n elementidest saab moodustada n! permutatsiooni
3.1 Kaasaegseid seisukohti keemiliste sidemete kohta 3.2 Kovalentne side ja tema omadused Kovalentne side on kõige üldisem keemilise sideme liik, mille olemus seisneb ühe või mitme elektroni üheaegses toimes mõlema aatomi tuumaga. Tüüpiline kovalentne side moodustub lähedaste elektronegatiivsusega elementide aatomite vahel. MT: O on väliskihil 6 elektroni. O molekuli moodustamisel tekib 2 kovalentset sidet. Kahe erisuguse aatomi vahelise kovolentse sideme puhul nihkub siduv elemendipaar elektronegatiivsema aatomi poole, st molekulis on orbitaalide kattumispiirkond nihutatud tugevamini elektrone siduva, elektronegatiivsema elemendi poole tekib polaarne side. Kuna orbitaalid on ruumiliselt orienteeritud on kovalentne side kindla suunaga. S-orbitaali sväärilise kuju tõttu kattumise suund pole oluline, p-orbitaali puhul, mis on ruumiliselt orienteeritud täisnurga all sõltub kattumise ulatus peale tuumade vahelise kauguse , kattuvate orbitaalide paiknemisest. 3
tähte („sõltumatud arvud“). Lihtne on üle kontrollida kõik arvupaarid ning tulemuseks saame R = {(1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)}. Boole’i maatriks 18 o Relatsiooni hulkade X = {x1, x2, . . . , xm} ja Y = {y1, y2, . . . , yn} vahel saab ette anda ka maatriksiga, mille mõõtmed on m×n, kusjuures reas i ja veerus j asub väärtus 1, kui elemendipaar (xi, yj) kuulub relatsiooni, ning väärtus 0 vastasel korral. Juhul X = Y saame ruutmaatriksi. o Kui R on näiteks viimati vaadeldud jaguvusrelatsioon, siis tema maatriks on Graaf o Ühe võimalusena võib relatsiooni esitada suunatud graafi abil. Kujutame hulga X elemente ja hulga Y elemente punktidena joonisel ning tõmbame kaare elemendist x ∈ X elemendini y ∈ Y parajasti siis, kui paar (x, y) kuulub vaadeldavasse relatsiooni.
(i) (j) kus i = j, korral ei ole hulkadel Pn ja Pn u ¨hiseid permutatsioone, sest erinevus on juba esimeses arvus. Seega hulga Pn permutatsioonide arv (1) (2) (n) v~ordne hulkade Pn , Pn , . . . , Pn permutatsioonide arvu summaga, s.o. (n - 1)!n = n! Definitsioon 2.1. Oeldakse, ¨ et permutatsioonis 1 2 . . . i . . . j . . . n elemendipaar (i , j ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv i on suurem teisest arvust j , s.o. i > j . Vaadeldes permutatsioonis (2.1) k~oiki arvupaare (1 , 2 ), (1 , 3 ), . . . , (1 , n ), (2 , 3 ), . . . , (2 , n ), . . . , (n-1 , n ), saame kokku lugeda inversioonide arvu antud permutatsioonis. Inversiooni- de arvu permutatsioonis (2.1) t¨ahistame I (1 , 2 , . . . , n ) abil. Definitsioon 2.2
kus i = j, korral ei ole hulkadel Pn ja Pn u ¨hiseid permutatsioone, sest erinevus on juba esimeses arvus. Seega hulga Pn permutatsioonide arv (1) (2) (n) v˜ordne hulkade Pn , Pn , . . . , Pn permutatsioonide arvu summaga, s.o. (n − 1)!n = n! ♠ Definitsioon 2.1. Oeldakse, ¨ et permutatsioonis α1 α2 . . . αi . . . αj . . . αn elemendipaar (αi , αj ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv αi on suurem teisest arvust αj , s.o. αi > αj . Vaadeldes permutatsioonis (2.1) k˜oiki arvupaare (α1 , α2 ), (α1 , α3 ), . . . , (α1 , αn ), (α2 , α3 ), . . . , (α2 , αn ), . . . , (αn−1 , αn ), saame kokku lugeda inversioonide arvu antud permutatsioonis. Inversiooni- de arvu permutatsioonis (2.1) t¨ahistame I (α1 , α2 , . . . , αn ) abil.
permutatsiooni: (1,2,3); (2,3,1); (3,1,2); (2,1,3); (3,2,1); (1,3,2). Teoreem. Permutastoonide arv n elemendist on Pn=n! Tõestus. Permutatsiooni esimese elemendi valimiseks on n võimalust. Teise elemendi valikuks jääb n 1 võimalust. Seega esimese kahe elemendi valikuks on n(n 1) võimalust. Analoogiliselt jätkates saame, et n elemetide ümberjärjestamiseks n(n 1)(n 2) ... 2 1 = n! võimalust. Definitsioon. Öeldakse, et permutatsioonis elemendipaar ( , ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv on suurem teisest arvust , s.o. . Inversioonide arvu permutatsioonis tähistatakse Koostame järgmised tabelid n = 2; 3 korral. Märk (i1,i2) (i1,i2) a1i1 a 2 i2 (i1 ,i 2 )
annaabi.ee 
