Seevastu graafikutel 5 - 8 toodud kriitilistes punktides tuletis m¨arki ei muuda. Graafikutel 5 ja 7 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti samuti f > 0. Graafikutel 6 ja 8 on nii enne kui ka peale kriitilist punkti f < 0. Vaatleme n¨ aidet teoreem 4.3 kasutamise kohta. Olgu antud funktsioon f (x) = 3 (x3 - 8)2 . Leiame selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ja lokaalsed ekstree- mumid. Kuna kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning ekstreemumid peavad asuma funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonnas, leiame k~oigepealt antud funktsiooni loomuliku m¨a¨ aramispiirkonna. Vaadeldav funktsioon on m¨a¨aratud suvalise reaalarvu x korral. Seega X = R. Avaldame tuletise. Liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja p~ohjal [ ] 2 2 f (x) = (x3 - 8)2/3 = (x3 - 8)-1/3 · (x3 - 8) = (x3 - 8)-1/3 · 3x2 .
Graafikutel 5 ja 7 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti samuti f > 0. Graafikutel 6 ja 8 on nii enne kui ka peale kriitilist punkti f < 0. Vaatleme n¨ aidet teoreem 4.3 kasutamise kohta. Olgu antud funktsioon f (x) = 3 (x3 - 8)2 . Leiame selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ja lokaalsed ekstree- mumid. Kuna kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning ekstreemumid peavad asuma funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas, leiame k~oigepealt antud funktsiooni loomuliku m¨a¨aramispiirkonna. Vaadeldav funktsioon on m¨a¨aratud suvalise reaalarvu x korral. Seega X = R. Avaldame tuletise. Liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja p~ohjal 2 3 2 f (x) = (x3 - 8)2/3 = (x - 8)-1/3 · (x3 - 8) = (x3 - 8)-1/3 · 3x2 .
Ekstreemumid Graafiline mõtteviis aitab ka aru saada sellest, miks tuletise nullkohad on nõnda olulised. Nimelt näeme, et tuletis on võrdne nulliga täpselt kohtades, kus puutuja- sirge on paralleelne -teljega – ehk teisisõnu kohtades, kus funktsioonil on kogu tuletis oma ümbrusest suurem või väiksem väärtus. Selliseid kohti nimetatakse ekstree- mumiteks. Ekstreemumit, mis on mingil väiksel alal kõige suurema väärtusega, nimetatakse maksimumpunktiks ning madalamat punkti miinimumpunktiks. Ekstreemumite uurimine on päris oluline, kuna tänapäeval on ikka kombeks kõike kas maksimeerida või minimeerida: majandusteadlased tahavad maksimeerida kasumit, vormeli-insenerid tippkiiruseid ja õpilased uneaega.
erineva punkti P (x, y) korral f (x, y) = x2 + y 2 > 0. N¨aide 2. Funktsioonil z = x2 - y 2 ei ole punktis P0 (0; 0) lokaalset ekst- reemumi, sest f (0; 0) = 0, aga igasugune U (0; 0) sisaldab nii x- kui ka y-telje 28 punkte ning x-telje punktides y = 0 ja z = x2 > 0, y-telje punktides x = 0 ja z = -y 2 < 0. Kui kahe muutuja funktsioonil on punktis P0 (x0 , y0 ) lokaalne ekstree- mum, siis on lokaalne ekstreemum ka kahe muutuja funktisooni graafikuks oleva pinna tasandil~oikel tasandiga y = y0 , st u ¨he muutuja funktsioonil z z = f (x, y0 ). Sellisel juhul punktis P0 kas = 0 v~oi puudub. Samuti on x lokaalne ekstreemum tasandil~oikel tasandiga x = x0 , st u ¨he muutja funkt- z sioonil z = f (x0 , y)
annaabi.ee 
