1 1 1 1 1 1 = 0 Konjunktsioon on ka tehte suhtes distributiivne : x(y z) = xy xz Sellise distributiivsuse kehtimise kontrollimiseks võib arvutada eelneva Seega jõudsime võrduse x ( y z ) = x y x z mõlemat poolt võrduse mõlema poole väärtused muutujate kõigi 8 väärtuskombinatsiooni x ¯y z x y ¯z , mis samuti kinnitab Ü teisendades sama avaldiseni korral ehk arvutame võrduse mõlema poole tõeväärtustabelid nende
Koostame konjuktsioonid ridadele vastavatest elementide tõeväärtustest (nt kui X=t, Y=t ja Z=v, siis saame X&Y&¬Z) Ühendame saadud konjuktsioonid ühiseks disjunktsiooniks o TDNK-le viimise algoritm: Elimineerida implikatsioonid ja ekvivalentsid Viia eitused vahetult lausemuutujate ette (st konjunktsioonide ja disjunktsioonide sisse) Korrutada disjunktsioonid läbi (distributiivsuse seaduse abil) Kaotada samaselt väärad konjunktsioonid ja sama liikme mitmekordsed esinemised konjunktsioonides Lisada konjunktsioonidele puuduvad muutujad Korrastada valem (järjestada muutujad konjunktsioonides ja kaotada korduvad konjunktsioonid) o TDNK leidub igal kehtestataval valemil ja on üheselt määratud täielike elementaarkonjuktsioonide järjekorra täpsusega
See tähendab, valemite F ja G tõeväärtused on suvalisel väärtustusel samad. Vastavalt definitsioonile on valemid F ja G samaväärsed. Lausearvutuse põhisamaväärused o Idempotentsuse seadused: F&F≡F, F∨F≡F. o Kommutatiivsuse seadused: F&G≡G&F, F∨G≡G∨F. o Assotsiatiivsuse seadused: 5 (F & G) & H ≡ F & (G & H ), (F ∨ G) ∨ H ≡ F ∨ (G ∨ H ). o Distributiivsuse seadused: F & (G ∨ H ) ≡ F & G ∨ F & H , F ∨ G & H ≡ (F ∨ G) & (F ∨ H ). o Neelamisseadused: F & (F ∨ G) ≡ F , F∨F&G≡F. o De Morgani seadused: ¬(F & G) ≡ ¬F ∨ ¬G, ¬(F ∨ G) ≡ ¬F & ¬G. o Kahekordse eituse seadus: ¬¬F ≡ F . o Liikmete elimineerimise reeglid, kus T on suvaline samaselt tõene valem ja V on suvaline samaselt väär valem: F&T≡F, F&V≡V, F ∨T ≡T , F∨V≡F.
Samaväärsed valemid - Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel. Lausearvutuse põhisamaväärsused: 1. Idempotentsuse seadused a. F&FF FvFF 2. Kommutatiivsuse omadused a. F&GG&F FvGGvF 3. Assotsiatiivsuse seadused a. (F&G)&HF&(G&H) (FvG)vHFv(GvH) 4. Distributiivsuse seadused a. F&(GvH)F&GvF&H FvG&H(FvG)&(FvH) 5. Neelamisseadused a. F&(FvG)F FvF&GF 1 6. De Morgani seadused a. (F&G)=FvG (FvG)=F&G 7. Kahekordse eituse seadus a. FF 8. Liikmete elimineerimise reeglid a
Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2. Arvude ühistegur : Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Korrutamise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise jaotuvusseadus (distributiivsuse seadus) , Korrutise jagamise seadus, Summa jagamise seadus, Jagatise põhiomadus . Nt. 1 Liitmise vahetuvusseadus : Summa ei muutu, kui muudame liidetavate järjekorda. 2+3=3+2=5 a+b=b+a Nt. 2 Korrutamise jaotuvusseadus : Summa korrutamiseks mingi arvuga võib korrutada selle arvuga iga liidetava ja tulemused liita. Ühes reas on 3 + 5 ringi, kahes reas on 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 = 16 ringi. Punaseid ringe on 2 · 3, valgeid ringe on 2 · 5. Kokku on 2 · 3 + 2 · 5 = 16 ringi.
lõikumatuteks. Näiteks, ratsionaalarvude ja irratsionaalarvude hulgad on lõikumatud. Hulkade ühendi ja ühisosa omadused Teoreem Hulkade ühendil ja ühisosal on järgmised omadused: 1. Idempotentsus: A A = A, A A = A; 2. Kommutatiivsus: A B = B A, A B = B A; 3. Assotsiatiivsus: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 4. Distributiivsus: (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). TÕESTUS 4. Tõestame teise distributiivsuse võrduse ehk (A B) C = (A C) (B C). (i) Olgu x (A B) C. Siis x A B või x C. Kui x C, siis x A C ja x B C, mistõttu x (A C) (B C). Kui aga x C, siis x A B ehk x A ja x B. Siis aga x A C ja x B C, s.t x (A C) (B C). Sellega on näidatud, et (A B) C (A C) (B C). (ii) Olgu nüüd x (A C) (B C). Siis x (A C) ja x (B C). Kui x C, siis x (A B) C. Kui aga x C, siis x A ja x B ehk x A B ning x (A B) C
Kõigi ülaltoodud konstruktsiooni põhjal saadud hulkade hulka tähistame sümboliga N ning tema elemente nimetame naturaalarvudeks (natural numbers, натуральные числа). Järgnevalt viime naturaalarvude hulka sisse liitmise ja korrutamise. See toimub rekursiivselt: nõuame, et a+1 = S(a) ja a+S(b) = S(a+b), kus a, b ∈ N. Korrutamine: a·1 = a ja a·S(b) = a+(a·b). Kontroll näitab, et liitmine ja korrutamine on assotsiatiivsed, kommutatiivsed ning on seotud distributiivsuse võrdustega. Defineerime veel, et a < b ⇔ ∃c ∈ N : a+c = b. Saadud seos < rahuldab trihhotoomia, transitiivsuse, liitmise ja korrutamise monotoonsuse nõudeid. Märkus. Sageli defineeritakse hoopis 0 = ∅ ning viiakse läbi ülaltoodud konstruktsioon, tulemuseks saadakse N = {0, 1, 2, . . .}. Nüüd koostame täisarvude hulga. Defineerime selleks hulgas N × N järgmise seose: (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c.
annaabi.ee 
