järku tuletiseks kohal a. ′ 𝑓 (𝑛−1) (𝑥) − 𝑓 (𝑛−1) (𝑎) 𝑓 (𝑛) (𝑎) ≔ [𝑓 (𝑛−1) (𝑎)] 𝑥=𝑎 = lim 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Korgemat järku diferentsaalid. Avaldist 𝑓′(𝑥)∆𝑥 nimetatakse funktsiooni 𝑦 = 𝑓 (𝑥) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse 𝑑𝑦 või 𝑑𝑓, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥 Võttes 𝑦 = 𝑥, saame 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑥 ′ ∙ ∆𝑥 = ∆𝑥 𝑑𝑥 – argumendi diferentsiaal 𝑑𝑦
funktsiooni f(x) graafik on nogus punktis a. Kui f(x) C[a, b] ja f''(x) (x (a, b)), siis funktsiooni f(x) graafiku kumerusest (nogususest) vahemikus (a, b) jareldub, et x (a, b) f''(x) 0 (f''(x) 0). 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Oeldakse, et punkt a (täpsemini punkt(a, f(a))) on funktsiooni f(x) graafiku käänupunkt, kui leidub Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku tuletiseks kohal x ja selline > 0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a - , a) ja nogus hulgal (a, a + ) voi nogus tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ).
Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise: Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul ja näitame, et sel juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib: Saame: Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindeksi nihke) j:=k+1(k=j-1) Saame: Kuna 6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse või , Võttes , saame argumendi diferentsiaal Diferentsiaali omadusi · Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. · Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi · · ·
Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine. LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures 6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist f’(x)Δx nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja
𝑘 (𝑥−𝑎) ′ (𝑥−𝑎)2 ′′ (𝑥−𝑎)3 ′′′ (𝑥−𝑎)𝑛 (𝑛) 6). (Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid) Taylori valem : 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑎) + 1! 2! 3
annaabi.ee 
