Astmefunktsioonid Y=X X Y Y -3 -3 -2,5 -2,5 4 -2 -2 3 -1,5 -1,5 2 -1 -1 1 -0,5 -0,5 Y 0 0 0 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 0,5 0,5 1 1 -2 1,5 1,5 -3 2 2 ...
Me ütleme, et operaator G^ on funktsioon operaatorist A^ , s o G^ = F A^ , kui () operaatoritel G^ ja A^ on ühised omafunktsioonid ja nende omaväärtuste ja vahel on samasugune funktsionaalne sõltuvus, s t = F ( ) . Mittekommuteeruvatest operaatoritest ei ole võimalik selle definitsiooni alusel funktsioone moodustada, sest mittekommuteeruvatel operaatoritel ei ole ühiseid omaolekuid. Ka ei saa neist moodustada astmefunktsioone, mis sisaldaksid erinevate operaatorite korrutisi, kuna tulemus sõltub tegurite järjekorrast. Mittekommuteruvatest () () operaatoritest A^ ja B^ võime küll moodustada funktsiooni kujul F^ = F1 A^ + F2 B^ . Kuna aga operaator F^ ei kommuteeru A^ -ga ega B^ -ga, leitakse ta omaväärtused viimasest sõltumatult. Üldisemate funktsioonide korral, mis sisaldavad mittekommuteeruvaid
xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1 kahanevate suurustega piirprotsessis x 0. Olgu n1 > n2 . Siis on suhe aa12 xxn2 = aa12 xn1 -n2 samuti positiivse astmega astmefunktsioon. Seega n1 lim aa12 xxn2 = lim aa12 xn1 -n2 = 0, millest j¨areldub, et funktsioon on a1 xn1 on x0 x0 orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus funktsiooni a2 xn2 suhtes. k~ 2
xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1 kahanevate suurustega piirprotsessis x 0. Olgu n1 > n2 . Siis on suhe aa21 xxn2 = aa12 xn1 -n2 samuti positiivse astmega astmefunktsioon. Seega n1 lim aa12 xxn2 = lim aa12 xn1 -n2 = 0, millest j¨areldub, et funktsioon on a1 xn1 on x0 x0 k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus funktsiooni a2 xn2 suhtes. 2
annaabi.ee 
