Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist
3) s samm-sammult, hakates vahetama kõrvuti olevaid arve. Vahetame permu- tatsioonis (2.2) arvu i temale järgnevate arvudega, viies ta arvu k järele. Selle protseduuri käigus toimub s + 1 kõrvuti oleva arvupaari vahetust. Nüüd toome arvu k arvu i esialgsele kohale, vahetades s korda kõrvuti olevaid arve. Seega saime permutatsioonist (2.2) permutatsiooni (2.3), va- hetades kokkuvõttes (s + 1) + s = 2s + 1 korda kõrvuti olevaid arvupaare. Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. Võtame nüüd kaks permutatsiooni 12.....n, 1 2 ... Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon. Tema inversioonide arv on null, seega ta on paarispermutatsioon. Teeme kummaski permutatsioonis Äuhesuguseid arvupaaride vahetusi eesmärgiga saada teisest permutatsioo- nist loomulik permutatsioon, mis muutub paarispermutatsiooniks
Seega hulga Pn permutatsioonide arv (1) (2) (n) v~ordne hulkade Pn , Pn , . . . , Pn permutatsioonide arvu summaga, s.o. (n - 1)!n = n! Definitsioon 2.1. Oeldakse, ¨ et permutatsioonis 1 2 . . . i . . . j . . . n elemendipaar (i , j ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv i on suurem teisest arvust j , s.o. i > j . Vaadeldes permutatsioonis (2.1) k~oiki arvupaare (1 , 2 ), (1 , 3 ), . . . , (1 , n ), (2 , 3 ), . . . , (2 , n ), . . . , (n-1 , n ), saame kokku lugeda inversioonide arvu antud permutatsioonis. Inversiooni- de arvu permutatsioonis (2.1) t¨ahistame I (1 , 2 , . . . , n ) abil. Definitsioon 2.2. Permutatsiooni nimetatatakse paarispermutat- siooniks (paarituks permutatsiooniks), kui tema inversioonide arv on paa- risarv (paaritu arv). Teoreem 2.2
(1) (2) (n) v˜ordne hulkade Pn , Pn , . . . , Pn permutatsioonide arvu summaga, s.o. (n − 1)!n = n! ♠ Definitsioon 2.1. Oeldakse, ¨ et permutatsioonis α1 α2 . . . αi . . . αj . . . αn elemendipaar (αi , αj ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv αi on suurem teisest arvust αj , s.o. αi > αj . Vaadeldes permutatsioonis (2.1) k˜oiki arvupaare (α1 , α2 ), (α1 , α3 ), . . . , (α1 , αn ), (α2 , α3 ), . . . , (α2 , αn ), . . . , (αn−1 , αn ), saame kokku lugeda inversioonide arvu antud permutatsioonis. Inversiooni- de arvu permutatsioonis (2.1) t¨ahistame I (α1 , α2 , . . . , αn ) abil. Definitsioon 2.2. Permutatsiooni nimetatatakse paarispermutat- siooniks (paarituks permutatsiooniks), kui tema inversioonide arv on paa- risarv (paaritu arv). Teoreem 2.2
nimetatakse relatsiooni hulgast A hulka C, mis on defineeritud järgmiselt: R S = { (a,c) | leidub b , nii et (a,b) R ja (b,c) S } Näide: Täisarvude hulgal on antud kaks relatsiooni R={(a,a+1) | aZ} ja S={(a,2a) | aZ} Arvupaar (a,c) kuulub relatsiooni R S parajasti siis kui leidub selline b, et (a,b) R ja (b,c) S mis tähendab, et b=a+1 ja c=2*b millest järeldub, et c=2*(a+1)=2a+2. Seega relatsioon R S kujutab arvupaare (a,2a+2) ehk R S = { (a,2a+2) | aZ } Ülesanne 4: Leida eelmise näite põhjal S R Ülesanne 5: R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} ja S={(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} Leida R S ja S R. R S={(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)} S R={} ei ole võrdsed Kompositsioonil on ka hulk omadusi: (R S) T=R (S T) (R S)-1 = S-1 R-1 R (S T)= (R S) ( R T) R (S T) (R S) ( R T)
nimetatakse relatsiooni hulgast A hulka C, mis on defineeritud järgmiselt: R S = { (a,c) | leidub b , nii et (a,b) R ja (b,c) S } Näide: Täisarvude hulgal on antud kaks relatsiooni R={(a,a+1) | aZ} ja S={(a,2a) | aZ} Arvupaar (a,c) kuulub relatsiooni R S parajasti siis kui leidub selline b, et (a,b) R ja (b,c) S mis tähendab, et b=a+1 ja c=2*b millest järeldub, et c=2*(a+1)=2a+2. Seega relatsioon R S kujutab arvupaare (a,2a+2) ehk R S = { (a,2a+2) | aZ } Ülesanne 4: Leida eelmise näite põhjal S R Ülesanne 5: R={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} ja S={(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} Leida R S ja S R. R S ={(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3t),(3,u)} S R ={} Kompositsioonil on ka hulk omadusi: (R S) T=R (S T) (R S)-1 = S-1 R-1 R (S T)= (R S) ( R T) R (S T) (R S) ( R T) Olgu relatsioon hulgal A, siis R A × A .
Konstruktiivse olemasolu tõestuse puhul leiame konkreetse elemendi y, mille korral P(y) on tõene. Mittekonstruktiivse olemasolu tõestuse puhul näitame, et x P(x) on tõene mingil muul viisil. Näiteks, kui oletada, et kehtib ¬(x P(x)) ehk x ¬P(x), siis tekib vastuolu. Lause 2 2 2 Tõesta, et leiduvad reaalarvud a ja b nii, et (a+ b) =a +b . TÕESTUS Kuigi antud seos ei ole üldjuhul õige, saame leida arvupaare, mis ka sellist võrdust rahuldavad. Seega, olgu a, b sellised, et (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b2. Siis peab 2ab = 0. Üks võimalik lahend oleks a = 1 ja b = 0, sest siis (a+b)2 = (1+0)2 = 12 = 12+02 = a2+b2. Lause Leiduvad irratsionaalarvud x ja y nii, et xy on ratsionaalarv. TÕESTUS Teame, et on irratsionaalarv ¿ Uurime arvu ¿ ¿ Vaatame nüüd kahte alamjuhtu: ¿ 1
annaabi.ee 
