● Arvuhulga nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulk arve. Jätk järgmisel slaidil Arvuhulkade omadused ● Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. ● Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. Arvuhulkade omadused ● Naturaalarvude hulk N 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles vähim, kuid pole suurimat arvu. 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üks- teisele ega kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-,korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Arvuhulkade omadused ● Täisarvude hulk Z 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim.
.. ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu . Kõikide ratsionaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "×" korpuse (ratsionaalarvude korpuse), mis on reaalarvude korpuse R alamkorpus ning on kõige kitsam arvukorpus. RATSIONAALARVUDE HULK Q 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On tihe arvuhulk, s.t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3. On hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Täisarvud Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z Z={...-2; -1; 0; 1; 2; ...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast : ={1; 2; 3;...} ja negatiivsete täisarvude hulgast ={...-3; -2; -1}.
nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üksi kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse et arvuhulk on pidev. NATURAALARVUDE HULK N 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu. 2) On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge 3) On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehete suhtes. TÄISARVUDE HULK Z 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv 2) on hulk milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge
Matemaatika 1. Arvjada lõpmatu järjestatud arvuhulk. 2. Aritmeetiline jada jada, milles alates II-st liikmest iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv suurus. 3. Geomeetriline jada jada, milles alates II-st liikmest on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis jääv suurus. 4. Hääbuv jada ehk nullile lähenev jada. Kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 1. Võrdeline seos y=ax. Graafikuks on sirge, mis läbib punkti (0;0). 2
2 4 2 2 Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb vastav ruutparabool üles. Võrratuse x - x - 2 > 0 2 y y = x2 - x - 2 lahendihulgaks on funktsiooni y = x2 - x - 2 positiivsuspiirkond: X = (- ; - 1) (2; ). 2 x -1 Ülesanne 2 (III) Sama arvuhulk on ka esialgse eksponentvõrratuse lahendiks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = (- ; - 1) (2; ). Ülesanne 3 (I) Lahendada eksponentvõrratus 2 16 x + 5 2 2 x - 3 > 0. Lahendus Läheme eksponentliikmetes üle alusele 4: 16 x = ( 4 ) = ( 4 ) , 2 x x 2 2 2x = ( 2 2 ) x = 4 x. Esialgne võrratus osutub samaväärseks järgnevaga:
ühtegi selle hulga teist arvu. · Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. · Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. · Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. Naturaalarvude hulk N · on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Täisarvude hulk Z · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge
suunas. Nullist suuremaid reaalarve nimetatakse positiivseteks, nullist väiksemaid negatiivseteks. Iga nullist erineva reaalarvu a korral nimetatakse reaalarve a ja a teineteise vastandarvudeks ning a ja 1 teineteise pöördarvudeks. A Reaalarvude hulga omadusi: · Reaalarvude hulk R on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Reaalarvude hulk R on pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. · Reaalarvude hulk R on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. REAALARVUDE PIIRKONNAD Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Valime arvteljel kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et a < b
erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve 3. Arvuhulga kinnisus tehte suhtes- Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus 4. Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis
Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama arve, mis jaguvad 2-ga, 3-ga, 5-ga ja teiste juba leitud algarvudega, siis jäävadki alles ainult algarvud. Üksikasjad leiate alljärgnevast Basic- programmist. ' P r o g r a m m i a l g u s DIM arv(2 TO 999) AS INTEGER ' vaadeldav arvuhulk FOR i = 2 TO 999 ' algväärtustame massiivi arv(i) = 1 ' 1=arv on olemas, 0=arv on eemaldatud NEXT jagaja = 2 ' sõel alustab tööd DO WHILE jagaja < SQR(1000) ' SQR(1000) on suurim vajalik jagaja i = jagaja + jagaja DO WHILE i < 1000 ' vaatab läbi kõik arvud hulgas arv(i) = 0 ' ja eemaldab jagajaga jaguvad arvud i = i + jagaja LOOP
Algarvu definitsioonist selgub, et algarv on ühest suurem ning jagub parajasti arvuga 1 ja iseendaga. Kui me nüüd võtame meile antud arvude hulga { 2, ..., 999 } ( arvu 1 ei ole vajadust vaadelda) ja hakkame nende hulgast eemaldama arve, mis jaguvad 2-ga, 3-ga, 5-ga ja teiste juba leitud algarvudega, siis jäävadki alles ainult algarvud. Üksikasjad leiate alljärgnevast Basic- programmist. ' P r o g r a m m i a l g u s DIM arv(2 TO 999) AS INTEGER ' vaadeldav arvuhulk FOR i = 2 TO 999 ' algväärtustame massiivi arv(i) = 1 ' 1=arv on olemas, 0=arv on eemaldatud NEXT jagaja = 2 ' sõel alustab tööd DO WHILE jagaja < SQR(1000) ' SQR(1000) on suurim vajalik jagaja i = jagaja + jagaja DO WHILE i < 1000 ' vaatab läbi kõik arvud hulgas arv(i) = 0 ' ja eemaldab jagajaga jaguvad arvud i = i + jagaja LOOP
annaabi.ee 
