,siis
Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Cauchy
Kui positiivse arvrea Σk=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
siis
Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et
Piidab uurida vaid juhtu k0=1. Kui q<1, siis võime ette anda sellise arvu ε >0,et ka q+ε<1.
Võrdleme positiivseid arvridu ja . Geomeetriline rida on
teguri q+ε, kusjuures (q+ε)<1, korral koonduv. Kasutame võrratuste ahela viimast võrratust
ak<(q+ε)k (kϵN).
Võime väita, et ka rida on koonduv. Kui q>1, siis võime ette anda sellise arvu ε >0,
et ka q-ε >1. Kasutame võrratuse ahela esimest võrratust
(q-ε)k
,siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Cauchy
Kui positiivse arvrea k=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et
Piidab uurida vaid juhtu k0=1. Kui q<1, siis võime ette anda sellise arvu >0,et ka q+<1.
Võrdleme positiivseid arvridu ja . Geomeetriline rida on
teguri q+, kusjuures (q+)<1, korral koonduv. Kasutame võrratuste ahela viimast võrratust
ak<(q+)k (kN).
Võime väita, et ka rida on koonduv. Kui q>1, siis võime ette anda sellise arvu >0,
et ka q- >1. Kasutame võrratuse ahela esimest võrratust
(q-)k
,siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Cauchy
Kui positiivse arvrea k=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus
siis
· Juhul q<1 on uuritav rida koonduv
· Juhul q>1 on uuritav rida hajuv
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et
Piidab uurida vaid juhtu k0=1. Kui q<1, siis võime ette anda sellise arvu >0,et ka q+<1.
Võrdleme positiivseid arvridu ja . Geomeetriline rida on
teguri q+, kusjuures (q+)<1, korral koonduv. Kasutame võrratuste ahela viimast võrratust
ak<(q+)k (kN).
Võime väita, et ka rida on koonduv. Kui q>1, siis võime ette anda sellise arvu >0,
et ka q- >1. Kasutame võrratuse ahela esimest võrratust
(q-)k
arvu või +(lõpmatus)), et rida koondub absoluutselt iga |x| korral kui |x-a|
+ uk + . . . = uk (8.1) k=1 Liidetavaid selles summas nimetatakse rea liikmeteks ja liiget uk rea u ¨ ¨ldliikmeks. Uldliikmest saame indeksile k v¨a¨artusi andes konkreetsed liik- med. Kui rea liikmed on reaalarvud, nimetatakse rida arvreaks. Kui aga liikmed on muutuja x funktsioonid, st uk = uk (x), k = 1, 2, . . ., nimetatakse rida funktsionaalreaks. Esmalt vaatleme arvridu. Tuntumad arvread on geomeetriline rida a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q k + . . . = a1 q k (8.2) k=0 ja harmooniline rida 1 1 1 1 1 + + + ... + + ..
annaabi.ee 
