Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b), kusjuures g (x) = 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et f (b) - f (a) f (c) = . g(b) - g(a) g (c) ~ Toestus. Kasutame Lagrange'i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x) := (f (b) - f (a))g(x) - (g(b) - g(a))f (x). Lagrange'i keskva¨ artusteoreemi ¨ ~ pohjal leidub punkt c (a, b), kus 0 = (f (b)-f (a))(g(b)-g(a))-(g(b)-g(a))(f (b)-f (a)) = h(b)-h(a) = = h (c)(b - a) = [(g(b) - g(a))f (c) - (f (b) - f (a))g (c)](b - a) ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 3 / 13 Keskva¨ artusteoreemid
a a x x+x = (x) + f (t)dt . x Seega saame funktsiooni muudu jaoks seose x+x = (x + x) - (x) = f (t)dt . (5.22) x Integraali keskv¨a¨artusteoreemi p~ohjal leidub punktide x ja x + x vahel punkt c nii, et kehtib v~ordus x+x f (t)dt = f (c)(x + x - x) = f (c)x . (5.23) x T¨ apsemalt: Kui x > 0, siis leidub integraali keskv¨ a¨artusteoreemi p~ ohjal l~
Kui funkt- sioonil f (x) on punktis x0 lokaalne ekstreemum, siis f (x0 ) = 0 v~oi f (x0 ) ei eksisteeri. T~oestus. Oletame konkreetsuse m~ottes, et funktsioonil on punktis x0 lo- y kaalne maksimum. Siis j¨areldus 1 p~ohjal on y < 0, Kui x > 0, siis <0 x 15 ja piirv¨a¨artusteoreemi p~ohjal y lim 0. (3.14) x0+ x y Kui x < 0, siis > 0 ja piirv¨a¨artusteoreemi p~ohjal x y lim 0. (3.15) x0+ x ¨ Uhepoolsed piirv¨a¨artused (3.14) ja (3
x+x = (x) + f (t)dt . x Seega saame funktsiooni muudu jaoks seose x+x = (x + x) - (x) = f (t)dt . (5.22) x Integraali keskv¨a¨artusteoreemi p~ohjal leidub punktide x ja x + x vahel punkt c nii, et kehtib v~ordus x+x f (t)dt = f (c)(x + x - x) = f (c)x . (5.23) x T¨ apsemalt: Kui x > 0, siis leidub integraali keskv¨ aa¨rtusteoreemi p~ ohjal l~
annaabi.ee 
