Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim xa f(x) eksisteerib ja v~ordub arvuga f(a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim xa f(x) = lim xa [f(x) - f(a)] + f(a)= lim xa f(x) - f(a)/ x a * lim xa (x - a) + f(a) = f'(a) · 0 + f(a) = f(a). Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C' = 0, C - konstant, 2) (xa)' = a x a-1 , 3) (ax)' = ax lna , sealhulgas (ex)' = ex ,
st xx xx (x) 1 (x) (x) 0 1 (x) (x) 0 1 (x) lim = lim . xx0 (x) xx0 1 (x) T~ oestus. Et eelduse p~ ohjal lim ((x)/1 (x)) = 1 ja lim ((x)/1 (x)) = 1, siis xx0 xx0 lause v¨ aide j¨ areldub j¨ argmisest v~ orduste ahelast (x) (x)/1 (x) 1 (x) lim = lim · = xx0 (x) xx0 (x)/1 (x) 1 (x) 54 lim ((x)/1 (x)) xx0 1 (x) 1 (x) = · lim = lim .
Teoreem 3.1. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse definitsioonis (vt §2.9) toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim f (x) eksisteerib xa ja v~ordub arvuga f (a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim f (x) = lim [f (x) - f (a)] + f (a) xa xa f (x) - f (a) = lim lim (x - a) + f (a) = f (a) · 0 + f (a) = f (a) . xa x-a xa 57 Seega on teoreem t~oestatud. Teoreemile 3.1 vastupidine v¨aide ei ole ~oige. Pidev funktsioon ei tarvitse diferentseeruv olla. N¨aiteks funktsioon y = |x| on punktis x = 0 pidev, kuna lim |x| = 0 = |0|
Teoreem 3.1. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse definitsioonis (vt §2.9) toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim f (x) eksisteerib xa ja v~ordub arvuga f (a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim f (x) = lim [f (x) - f (a)] + f (a) xa xa f (x) - f (a) = lim lim (x - a) + f (a) = f (a) · 0 + f (a) = f (a) . xa x-a xa 57 Seega on teoreem t~oestatud. Teoreemile 3.1 vastupidine v¨aide ei ole ~oige. Pidev funktsioon ei tarvitse diferentseeruv olla. N¨aiteks funktsioon y = |x| on punktis x = 0 pidev, kuna lim |x| = 0 = |0|
annaabi.ee 
