x0 1 - x2 + 1 u1 1 - u 6 u1 1 - u u1 (1 - u)(1 + u + u ) 3 Taandame teguri 1 - u, sest u 1 korral on 1 - u = 0. N¨ aide 3. Leida piirv¨aa¨rtus x2 - 3x + 2 A = lim . x2 x2 + x - 6 Lahendus. Punktis x = 2 esineb m¨aa¨ramatus 0/0, st punkt ei kuulu vaadeldava funktsiooni m¨aa¨ra- mispiirkonda. M¨a¨aramatuse k~orvaldamiseks lahutame lugeja ja nimetaja teguriteks. Saame (x - 2)(x - 1) A = lim . x2 (x - 2)(x + 3) Taandame teguri x - 2, sest x 2 korral on x - 2 = 0. Seega x-1 1 A = lim = .
prootonitest ja neutronitest Tunnustused · pälvis 1932. aastal Nobeli füüsikaauhinna · 1933.aastal sai ta Max Plancki medali · aastal 1937 valiti ta Ameerika Filosoofiaseltsi ja 1965 Jaapani Akadeemia välisliikmeks Huvitavad faktid · osales surmatoova aatompommi tegemisel Hitleri vastu · "Breaking Badi" peategelane Walter White võttab Heisenbergi nimi Allikad · http://mateeriaharutus.blogspot.com/2012/03/ma aramatuse-printsiip.html · https://et.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg · https://et.wikipedia.org/wiki/Kvantmehaanika · http://www.fyysika.ee/?p=29318 · http://ekspress.delfi.ee/news/areen/valgetes- aluskites-nohkarist-sirgub-monstrum? id=67382150 Tänan tähelepanu eest!
x+ x3 + 1 + x3 - 1 x+ x3 + 1 + x3 - 1 Jagame lugejat janimetajat 2 2 = = lim = 1. suurusega x3 x+ 1+ 1/x3 + 1- 1/x3 2 N¨ aide 12. Leiame piirv¨ a¨artuse tan 2x 0 trigonomeetrilisi funktsioone sisaldava m¨a¨aramatuse 00 lim = sin x = x0 sin 5x 0 avamiseks on meil esialgu vaid u¨ks seos, lim =1 x0 x sin 2x sin 2x 1 2 = lim 2x · 0
3.4 L'Hospitali reegel L'Hospitali reegel h~olbustab jagatise piirv¨aa¨rtuse f (x) lim xa g(x) arvutamist, kui tegemist on 00 - v~oi - t¨ uu¨pi m¨a¨aramatusega. 0 Teoreem 1 (L'Hospitali reegel 0 - tu ¨u¨ pi m¨a¨aramatuse korral). Kui funktsioonid f (x) ja g(x) rahuldavad punkti a mingis u ¨mbruses (a - ; a + ) Cauchy teoreemi eeldusi, lim f (x) = lim g(x) = 0 ning eksisteerib piirv¨a¨artus xa xa f (x) lim , xa g (x) f (x) siis eksisteerib ka piirv¨aa¨rtus lim ja
aramatus 0 ). Piirv¨a¨artuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: sin x (sin x) cos x lim = lim = lim = cos 0 = 1. x0 x x0 (x) x0 1 M¨ arkusi. ab kehtima ka siis, kui piirprotsess x a asendada 1. l'Hospitali reegel j¨a¨ piirprotsessiga x - v~oi x . 2. l'Hospitali reegel on rakendatav ka t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuse korral. Sellisel juhul tuleb teoreem 2.7 eeldustes esinevad v~ordused f (a) = g(a) = 0 asendada v~ordustega lim |f (x)| = lim |g(x)| = . xa xa f (a) 3. l'Hospitali reeglit saab rakendada murrule g(a) ainult siis, kui seal t~oesti esineb m¨a¨aramatus v~oi 0 0 Kui
m¨a¨aratud (tekib m¨a¨aramatus 0 ). Piirv¨a¨artuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: sin x (sin x) cos x lim = lim = lim = cos 0 = 1. x0 x x0 (x) x0 1 M¨ arkusi. 1. l'Hospitali reegel j¨a¨ab kehtima ka siis, kui piirprotsess x a asendada piirprotsessiga x - v~oi x . 2. l'Hospitali reegel on rakendatav ka t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuse korral. Sellisel juhul tuleb teoreem 2.7 eeldustes esinevad v~ordused f (a) = g(a) = 0 asendada v~ordustega lim |f (x)| = lim |g(x)| = . xa xa f (a) 3. l'Hospitali reeglit saab rakendada murrule g(a) ainult siis, kui seal t~oesti esineb m¨a¨aramatus v~oi 0 0 Kui
annaabi.ee 
