lim (cos 2x)1/ sin x = e-2 . x0 N¨ aide 8. Leida piirv¨aa¨rtus lim x2 - x - x2 + x . x- Lahendus. Piiril x - tekib m¨a¨aramatus - . M¨a¨aramatuse k~orvaldamiseks tekitame murru, kus irratsionaalsus on nimetajas: x 2-x- x 2+x x 2-x+ x2 + x lim x2 - x - x2 + x = lim = x- x- x2 - x + x 2 + x -2x -2x
L'Hospitali reegli j¨argi 1 ln(1 + x) (ln(1 + x)) lim = lim = lim 1+x = 1. x0 x x0 x x0 1 ex - e-x - 2x N¨ aide 2. Leiame piirv¨a¨artuse lim . x0 x - sin x Ka siin on 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus. L'Hospitali reegli p~ohjal ex - e-x - 2x ex + e-x - 2 lim = lim . x0 x - sin x x0 1 - cos x Tekkis uuesti 00 -t¨ uu¨pi m¨a¨aramatus ja teist korda L'Hospitali reeglit rakenda- des saame ex - e-x ... = lim . x0 sin x
l'Hospitali reegli p~ohjal saab 00 t¨uu¨pi m¨a¨aramatusega piirv¨a¨artuse arvu- tamisel u¨le minna piirv¨a¨artusele, mille all esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. sin x sin x N¨ aide. Arvutame lim x . Elementaarfunktsioon x ei ole x = 0 korral x0 0 m¨a¨aratud (tekib m¨a¨ aramatus 0 ). Piirv¨a¨artuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: sin x (sin x) cos x lim = lim = lim = cos 0 = 1. x0 x x0 (x) x0 1 M¨ arkusi. ab kehtima ka siis, kui piirprotsess x a asendada 1. l'Hospitali reegel j¨a¨ piirprotsessiga x - v~oi x . 2. l'Hospitali reegel on rakendatav ka t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuse korral. Sellisel juhul tuleb teoreem 2
xa g(x) l'Hospitali reegli p~ohjal saab 00 t¨uu¨pi m¨a¨aramatusega piirv¨a¨artuse arvu- tamisel u¨le minna piirv¨a¨artusele, mille all esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. sin x sin x N¨ aide. Arvutame lim x . Elementaarfunktsioon x ei ole x = 0 korral x0 0 m¨a¨aratud (tekib m¨a¨aramatus 0 ). Piirv¨a¨artuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: sin x (sin x) cos x lim = lim = lim = cos 0 = 1. x0 x x0 (x) x0 1 M¨ arkusi. 1. l'Hospitali reegel j¨a¨ab kehtima ka siis, kui piirprotsess x a asendada piirprotsessiga x - v~oi x . 2. l'Hospitali reegel on rakendatav ka t¨ uu¨pi m¨a¨aramatuse korral. Sellisel juhul tuleb teoreem 2
tuse avamiseks teeme kindlaks selle murru lugejas ja nimetajas oleva pol¨unoomi astme. M~olema pol¨unoomi aste on n2 ning maksimaalne neist astmetest on samuti n2 . Jagame murru lugejat ja nimetajat maksimaalse astmega n2 (murru v¨a¨artus ei muutu!). Peale murru l¨abijagamist l¨ aheneb lugeja u¨hele ja nimetaja kahele. Seda asjaolu t¨ahistame 38 1 l¨ uhidalt = . Seega on m¨ a¨aramatus avatud ning jada piirv¨a¨artuseks on 1/2 : 2 2 1 1+ (n + 1)2 n 1 rakendame lim = lim = =
annaabi.ee 
