T¨apsemalt: graafiku- tel 5 ja 8 l¨aheb vasakult paremale liikudes kumerus u¨le n~ogususeks ning graafiku- tel 6 ja 7 l¨aheb vasakult paremale liikudes n~ogusus u ¨le kumeruseks. Olgu punkt P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨a¨anupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0. T~oepoolest, kui kehtiks f (x1 ) > 0, siis teoreemi 4.5 v¨aite 1 p~ohjal oleks joon y = f (x) n~ogus argumendi v¨a¨artuse x1 u ¨mbruses. See ei saa aga nii olla, sest vastavalt k¨a¨anupunkti definitsioonile asendub n~ogusus kumerusega, kui argument x l¨abib k¨a¨anupunkti P ordinaati x1 . Samal p~ohjusel ei saa kehtida ka v~orratus f (x1 ) < 0, sest sellisel juhul j¨arelduks teoreemi 4.5 v¨ aitest 2, et y = f (x) oleks kumer argumendi x1 u ¨mbruses, mis oleks samuti vastuolus sellega, et x = x1 korral asendub n~ogusus kumerusega. J¨a¨avad u ¨le vaid kaks v~oimalust: kas 1) f (x1 ) = 0 v~oi 2) l~oplik teist j¨arku tuletis f (x1 ) puudub.
T¨apsemalt: graafiku- tel 5 ja 8 l¨aheb vasakult paremale liikudes kumerus u¨le n~ogususeks ning graafiku- tel 6 ja 7 l¨aheb vasakult paremale liikudes n~ogusus u ¨le kumeruseks. Olgu punkt P = (x1 , f (x1 )) joone y = f (x) k¨a¨anupunkt. Sellisel juhul ei saa kehtida v~orratus f (x1 ) > 0. T~oepoolest, kui kehtiks f (x1 ) > 0, siis teoreemi 4.5 v¨aite 1 p~ohjal oleks joon y = f (x) n~ogus argumendi v¨a¨artuse x1 u ¨mbruses. See ei saa aga nii olla, sest vastavalt k¨a¨anupunkti definitsioonile asendub n~ogusus kumerusega, kui argument x l¨abib k¨a¨anupunkti P ordinaati x1 . Samal p~ohjusel ei saa kehtida ka v~orratus f (x1 ) < 0, sest sellisel juhul j¨arelduks teoreemi 4.5 v¨aitest 2, et y = f (x) oleks kumer argumendi x1 u ¨mbruses, mis oleks samuti vastuolus sellega, et x = x1 korral asendub n~ogusus kumerusega. J¨a¨avad u ¨le vaid kaks v~oimalust: kas 1) f (x1 ) = 0 v~oi 2) l~oplik teist j¨arku tuletis f (x1 ) puudub.
Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Lause Kui f (a) = 0, f (a) = 0 ja f (x) on pidev punktis a, siis punkt a on funktsiooni f (x) graafiku ka¨ anupunkt. ¨ Lause Kui f (a) = f (a) = . . . = f (m) (a) = 0 ja f (m+1) (a) = 0 ja f (m+1) (x) on pidev punktis a, siis 1) paarisarvulise m korral on funktsiooni f (x) graafikul punktis a ka¨ anupunkt, ¨ 2) paarituarvulise m korral ei ole funktsiooni f (x) graafikul punktis a ka¨ anupunkti. ¨ ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 16 / 16 Ma¨ aratud ¨ integraal Pindala Funktsiooni graafiku alune pindala
allpool. Definitsioon 2. Funktsiooni graafikut nimetatakse n~ogusaks piirkonnas X, kui u ¨kski selles piirkonnas graafikule t~ommatud puutuja ei ole graafikust u ¨lalpool. Definitsioon 3.Funktsiooni graafiku k¨a¨anupunktiks nimetatakse punkti, mis eraldab kumeruspiirkonda n~ogususpiirkonnast. J¨ areldus definitsioonidest. K¨a¨anupunktis graafiku puutuja l~oikab graa- fikut, sest u ¨hel pool k¨a¨anupunkti ei ole puutuja graafikust allpool ja teisel pool puutujast u ¨lalpool. Funktsiooni graafiku kumeruspiirkonda t¨ahistatakse s¨umboliga X ^ ja n~ogu- suspiirkonda s¨ umboliga X. Teoreem 1. Olgu pideval funktsioonil y = f (x) piirkonnas X pidevad esimest ja teist j¨arku tuletised. Kui f (x) < 0 piirkonnas X, siis on funkt- siooni graafik selles piirkonnas kumer. T~oestus. Olgu piirkonnas X funktsiooni graafikule t~ommatud puutuja punktis P0 (x0 ; f (x0 ))
annaabi.ee 
