Esindajaid: Tristan Tzara (1896 – 1963), Marcel Duchamp (1887 – 1968). Püüdis leida loovust, võites tagasi lapselikkuse. Sõna „dada“ tähendab prantsuse lastekeeles kiikhobu Sürrealism – algas 1920. aastate algul. Prantsuse keeles „sur réel“ – „ületegelik, ületõeline“. Püüdis vabastada luuletaja loometungi argipäeva mõtteskeemidest, liiga proosalisest ja tüütust igapäevaloogikast. Sürrealistlikku luulet nimetatakse „kujundite algebraks“. Põhiliselt prantsuse-, aga ka hispaania- jt romaanikeelsetel maadel. Esindajaid: Paul Éluard (1895 – 1952), Salvador Dalí (1904 – 1989), Jacques Prévert (1900 – 1977). Hispaania luuletaja Federico García Lorca (1898 – 1936) sai samuti mõjutusi sürrealismist, mis avaldub tema erksates ja ebatavalistes kujundites, kuid tema ühendas need mõjud hispaania vanema rahvaluulega (Andaluusia mustlaste romansid) ning 17. sajandi hispaania barokk-stiili gongorismi mõjutustega. Eesti
Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi. Mõnikord on kasulik sündmuste sigma-algebrast mõelda ka kui informatsioonist selle kohta, millistesse Ω alamhulkadesse kuulumist suudab vaateleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni põhjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatelja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav sigma-algebra. Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6},{2,4}} Nt2 Tihti pakub huvi väikseim sigma-algebra, mis sisaldab mingitfikseeritud sündmuste komplekti. Sel juhul öeldakse, et sigma-
eelda me et kehtib n= k korral: A k ={ a1 , a2 ,..., ak } |P (A k )|= 2 k Tões ta me, et kehtin n= k+ 1 korral A k + 1 = { a1 , a2 ,..., ak , ak +1 } H ulgale A k + 1 vas tava as tmehu lga s aamis eks võtame hulgale A k vas tava as tmehulga ja lis a me s ellele paarid mis s aame A k as tmehulga hulkade ja lis atava uue elemend i abil moodus tad a S eega : |P (A k + 1 )|= |P (A k )|+ |P (A k )|= 2 k +2 k = 2*2 k =2 k + 1 tõestatud B ool i algeb ra B ool i algebraks nime tame mit tetühj a hulka S koos kahe operats iooniga ja mis rahuldavad järgmis i tingimus i : Et j ärgnev liiga abs traktne j a keeruline ei tunduks võite es ialgu kuj utada ette H ulga S rollis reaalarvude hulka j a tehete rollis liitmis e ning korrutamis e tehet. V iimas el j uhul on tege mis t küll Booli algebra ühe erij uhuga, kuid kõik omadus ed on s el juhul väga lihts ad ja s elged. kui a,b S , s iis a b S j a a b S Iga a,b S , korral kehtib(ko mmut ati ivs us ):
A k ={ a1 , a2 ,..., ak } |P (A k )|= 2 k Tões ta me, et kehtin n= k+ 1 korral A = {a, b, c, d } lis as ime d A k + 1 = { a1 , a2 ,..., ak , ak +1 } H ulgale A k + 1 vas tava as tmehu lga s aamis eks võtame hulgale A k vas tava as tmehulga ja lis a me s ellele paarid mis s aame A k as tmehulga hulkade ja lis atava uue elemend i abil moodus tad a S eega : |P (A k + 1 )|= |P (A k )|+ |P (A k )|= 2 k +2 k = 2*2 k =2 k + 1 tõestatud Booli algebra B ool i algebraks nime tame mit tetühj a hulka S koos kahe operats iooniga ja mis rahuldavad järgmis i tingimus i : Et j ärgnev liiga abs traktne j a keeruline ei tunduks võite es ialgu kuj utada ette H ulga S rollis reaalarvude hulka j a tehete rollis liitmis e ning korrutamis e tehet. V iimas el j uhul on tege mis t küll Booli algebra ühe erij uhuga, kuid kõik omadus ed on s el juhul väga lihts ad ja s elged. kui a,b S , s iis a b S j a a b S Iga a,b S , korral kehtib(ko mmut ati ivs us ):
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2
nimetatakse funktsionaalseteks loogikalülitusteks. Kõiki loogikalülitusi liigitatatkse mäluta kombinatsioonloogikalülitusteks ja mäluga järjendloogikalülitusteks. 3.3 Loogikafunktsioonid ja elemendid 3.4 Loogikaseadused Loogikaseadusteks nimetatakse tavaliselt binaarloogika algebra ehk Boole' i algebra seadusi. (George Boole [2.11.1815-8.12.1864], inglise matemaatik ja loogik oli üks matemaatilise loogika rajajaid.) Algebraks nimetatakse üldjuhul elementide hulka, millega tehakse tehteid, kusjuures nende tehete aluseks on kindlad reeglid ehk aksioomid. Aksioomid määravad ära algebra põhitehete omadused ja seosed. Kuna nüüdismatemaatikas on palju algebra like (universaalalgebra, hulgaalgebra, loogikaalgebra), siis kehtivad neis ka erinevad tehted ja aksioomid. Boole'i algebra elementideks on binaarloogika signaalid (argumendid) kahe tõeväärtustega: väär ehk 0 (false) ja tõene ehk 1 (true)
tunduvalt laiem kui lihtsalt hulgateoreetilised operatsioonid. Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,....,yn) (xi yi ); X Y - X&Y (konjunktsioon) ; X Y - XVY (disjunktsioon). 4. Kõikvõimalike tükelduste hulk; P1 P2 - P1 · P2 ; P1 P2 - P1 +P2 ; P 1 P 2 - P 1 · P2 = P 1 . · Boole'i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja · ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja · on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad elemendid 0 ja 1, nii et x · x = 0 ning x + x = 1. Näited. {2A ,,, } - Cantori algebra. { (0,1) n ,&,V, } - loogikaalgebra. · Kaks algebrat on isomorfsed ( A1 = < M1 ,S1 > A2 = < M2 ,S2 > ), kui eksisteerib
Näited. 1. Naturaalarvude hulk N; a b = min (a,b); a b = max (a,b), a b. 2. Hulk N; a b - SÜT; a b - VÜK; a b - b jagub a-ga. 3. Kahendvektorite hulk; (x1 ,x2 ,....,xn ) (y1 ,y2 ,....,yn) (xi yi ); X Y - X&Y (konjunktsioon) ; X Y - XVY (disjunktsioon). 4. Kõikvõimalike tükelduste hulk; P1 P2 - P1 P2 ; P1 P2 - P1 +P2 ; P 1 P 2 - P 1 P2 = P 1 . 7 Boole’i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad elemendid 0 ja 1, nii et x x = 0 ning x + x = 1. Näited. {2A ,,, } - Cantori algebra. { (0,1) n ,&,V, } - loogikaalgebra.
(1.9) ei ole polünomiaalne. Selle teoreemi arendas M.H.Stone, kes leidis üldisemad aproksimeerivate funktsioonide omadused, kus aproksimeeriv funktsioon ei pea olema 20 polünoom. Stone-Weierstrassi teoreemi formuleerimiseks on vaja defineerida veel mõned mõisted. Definitsioon 4 Funktsioonide hulgast K n ruumi hulka A nimetatakse funktsioonide algebraks siis ja ainult siis, kui f , g A ja A jaoks kehtivad järgmised kolm seost: 1) f + g A ; 2) f g A ; 3) f A . Definitsioon 5 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Kui ühendada hulka A kõikide hulga A koonduvate jadade piirpunktidega, siis saadud hulka B nimetatakse hulga A sulundiks. Definitsioon 6 Öeldakse, et funktsioonide hulgast K n ruumi hulk A eraldab punkte hulgal K siis ja
(1.9) ei ole polünomiaalne. Selle teoreemi arendas M.H.Stone, kes leidis üldisemad aproksimeerivate funktsioonide omadused, kus aproksimeeriv funktsioon ei pea olema 20 polünoom. Stone-Weierstrassi teoreemi formuleerimiseks on vaja defineerida veel mõned mõisted. Definitsioon 4 Funktsioonide hulgast K n ruumi hulka A nimetatakse funktsioonide algebraks siis ja ainult siis, kui f , g A ja A jaoks kehtivad järgmised kolm seost: 1) f + g A ; 2) f g A ; 3) f A . Definitsioon 5 Olgu A funktsioonide hulgast K n ruumi hulk. Kui ühendada hulka A kõikide hulga A koonduvate jadade piirpunktidega, siis saadud hulka B nimetatakse hulga A sulundiks. Definitsioon 6 Öeldakse, et funktsioonide hulgast K n ruumi hulk A eraldab punkte hulgal K siis ja
märgatavalt hiljem kui kaasaegsele matemaatikale. 2.4.1 George Boole ja Augustus de Morgan Inglise matemaatiku George Boole'i (1815-1864) kaks peamist loogika-alast tööd on Loogika matemaatiline analüüs aastast 1847 ja Mõtlemise reeglid aastast 1854. Eriti esimene neist avaldas suurt mõju loogika järgnevale arengule. Nimelt rakendas Boole värskeid ideid matemaatilisest algebrast otse loogikale, ehitades üles loogika algebra, mida sageli nimetataksegi Boole'i algebraks Kaugemaks eesmärgiks pidas Boole nagu Leibnizki loogika keele väljaarendamist ja "mõtlemise aritmeetika" ehitamist. Erinevalt Leibnizist ja teistest varasematest loogikutest andis Boole süsteemse, matemaatilise kuju niisuguse keele baasfragmendile - lausearvutusele. Nagu öeldud, annab Boole' algebra lausearvutusele süstemaatilise, kuid mitte veel rangelt aksiomaatilise kuju. Samuti ei
väljund olekusse y Q 1 ning see olek R säilib, kuni seda y ei muudeta sisendiga x2 19 1.2.2. Loogikaseadused Loogikaseadusteks nimetatakse tavaliselt binaarloogika algebra ehk Boole' i algebra seadusi. Algebraks nimetatakse üldjuhul elementide hulka, millega tehakse tehteid, kusjuures nende tehete aluseks on kindlad reeglid ehk aksioomid. Aksioomid määravad ära algebra põhitehete omadused ja seosed. Kuna nüüdismatemaatikas on palju algebra liike (universaalalgebra, hulgaalgebra, loogikaalgebra), siis kehtivad neis ka erinevad tehted ja aksioomid. Boole'i algebra elementideks on binaarloogika signaalid (argumendid) väärtustega 0 ja 1
annaabi.ee 
