Sel juhul tehakse muutuja vahetus (võetakse uueks muutujaks) t = f ( x ) siis dt = f ( x ) dx ja saame f ( x ) f ( x ) dx = tdt või, g [ f ( x ) ] f ( x ) dx = g ( t ) dt Ositi integreerimise valem: udv = uv - vdu 12. Integraalne alamsumma ja ülemsumma (valemid ja joonis). Integraalsumma (valem ja joonis). Määratud integraali definitsioon (sõnastus ja valem). Kõvertrapetsi pindala arvutamise valem koos joonisega. Newton-Leibnizi valem. Summat s n nimetatakse integraalseks alamsummaks, summat sn integraalseks ülemsummaks. n s n = f ( 1 ) x1 + ( 2 ) x 2 + ... + ( n ) x n = f ( i ) xi i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f ( x ) integraalsummaks lõigul [ a, b] . Kui lõigu [ a, b] mistahes jaotuse korral, kus max xi 0 , ja 1 mistahes valiku korral
tegemist. Olgu lõigul [x0 ; x1] vähim väärtus m1 ja suurim väärtus M1 Olgu lõigul [x1 ; x2] vähim väärtus m2 ja suurim väärtus M2 Olgu lõigul [xn-1 ; xn] vähim väärtus mn-1 ja suurim väärtus Mn · Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva vähima väärtuse vastava lõigu argumendi ning siis saadud korrutised kokku liites, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks alamsummaks: n Sn = m1x1 + m2x2 +.....+ mnxn = i =1 m x i i · Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva suurima väärtuse vastava lõigu argumendi muuduga ning liites saadud korrutised, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks ülemsummaks: n Sn = M1x1 + M2x2 +...
pindala. 47. Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad ja Darboux’ integral. Integreeruvad funktsioonid (*) Defineerida lõigus [a; b] tõkestatud funktsiooni Darboux' ülem- ja alamsumma lõigu antud alajaotuse T korral. Selgitada nende geomeetrilist tähendust. Olgu f lõigus [a, b] tõkestatud funktsioon. Tähistame ning Summasid S ja s nimetatakse vastavalt Darboux’ ülem- ja alamsummaks Tõestada Darboux' summade kaks omadust (laused 11.1 ja 11.2). Alajaotuse peenendamisel (s.o. jaotuspunktide lisamisel) ei saa Darboux' ülemsumma kasvada ega alamsumma kahaneda. Olgu S (T) alajaotusele T[x0, . . . , xn] vastav Darboux’ ülemsumma. Lisame sellele jaotusele ühe uue jaotuspunkti x′, see paikneb mingi kahe olemasoleva jaotuspunkti xi−1 ja xi vahel. Uuele alajaotusele T′ [x0, . . . , xi−1, x′, xi, . . . , xn] vastav ülemsumma S (T′) on kujul
X S (T ) := Mk ∆xk ja s (T ) := mk ∆xk k=1 k=1 (ka siin kirjutame vajaduse korral S (T ) ja s (T ) asemel S (f, T ) ja s (f, T )). Summasid S (T ) ja s (T ) nimetatakse funktsiooni f (alajaotusele T ∈ T vastavaks) Darboux’ ülem- ja alamsummaks (upper, lower Darboux sum, верхняя, нижняя сумма Дарбу). Pidades silmas, et suvalise ξk ∈ [xk−1 , xk ] korral mk 6 f (ξk ) 6 Mk , saame võrratused (selgitada!)z s (T ) 6 σ (T, ξ) 6 S (T ) . Paneme tähele, et Darboux’ summad s (T ) ja S (T ) on antud alajaotuse T korral kons- tantsed, integraalsumma σ (T, ξ) aga sõltub punktide ξk ∈ [xk−1 , xk ] valikust. Seejuures
annaabi.ee 
