o ligikaudse avaldise kogu l~oigul [a, b]: n n A= Ai F (pi )xi . (5.17) i=1 i=1 119 Mida v¨aiksem on osal~oigu [xi-1 , xi ] pikkus, seda v¨ahem muutub j~oud sellel oigul ja seda t¨apsem on valem Ai F (pi )xi . Olgu n pikima osal~oigu osal~ pikkus. Mida v¨aiksem on n , seda v¨aiksemad on osal~oikude pikkused ning j¨ arelikult on seda t¨apsem valem (5.17). Teisest k¨ uljest, valemi (5.17) pare- mal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma l~oigul [a, b]. Integraalsumma l¨ aheneb m¨a¨aratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 j¨argmise t¨apse valemi t¨o¨o jaoks: b A = F (x)dx . a 5
n n A= Ai F (pi )xi . (5.17) i=1 i=1 119 Mida v¨aiksem on osal~oigu [xi-1 , xi ] pikkus, seda v¨ahem muutub j~oud sellel osal~oigul ja seda t¨apsem on valem Ai F (pi )xi . Olgu n pikima osal~oigu pikkus. Mida v¨aiksem on n , seda v¨aiksemad on osal~oikude pikkused ning j¨arelikult on seda t¨apsem valem (5.17). Teisest k¨ uljest, valemi (5.17) pare- mal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma l~oigul [a, b]. Integraalsumma l¨aheneb m¨a¨aratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 j¨argmise t¨apse valemi t¨o¨o jaoks: b A = F (x)dx .
Oletame, et juba on konstrueeritud kuup Km ja n¨aitame, kuidas konst- rueeritakse Km+1 . Jaotame kuubi Km iga serva [ami ; bmi ] ka- heks v˜ordse pikkusega osaks 1 1 [ami ; ami + rm ], [ami + rm ; bmi ] 2 2 ja v˜otame tekkinud osade k˜oikv˜oimalikud otsekorrutised u ¨le i = 1, 2, . . . , n. Saame 2n uut kuupi, mille servade pikkused on poole v¨aiksemad kui kuubi Km serva pikkus. Saadud kuu- pide u¨hend on Km . Seet˜ottu v¨ahemalt u ¨ks nendest 2n kuu- bist sisaldab l˜opmata palju hulga S punkte. Kuubiks Km+1 valimegi u ¨he sellistest kuupidest. Kuupide K1 , K2 , . . . konstruktsiooni kohaselt kehtib v˜ordus (7.15) ja a1i ≤ a2i ≤ . . . ≤ ami ≤ . . . ≤ bki , b1i ≥ b2i ≥ . . . ≥ bmi ≥ . . . ≥ aki iga m, k ∈ N ja i = 1, 2, . . . , n korral. Jada {ami }m∈N on monotoonselt kasvav ja u
x y u u J= (7.12) x y v v Oleme saanud piirkondade D ja D osapiirkondade pindalade vahel ligikaudse v~orduse s |J|s , (7.13) mis on seda t¨apsem, mida v¨aiksemad on u ja v (aga siis pidevuse t~ottu ka x ja y). Kahekordne integraal on defineeritud integraalsumma piirv¨a¨artusena osapiirkondade suurima diameetri l¨ahenemisel 0-le, st (j¨attes indeksid kir- jutamata) f (x, y)dxdy = lim f (, )s, 0 D kus P (, ) on osapiirkonnast s vabalt valitud punkt. Olgu (u, v) piirkonna s punkt, mis vastab punktile P (, ) s. Siis piirkondade pindalade vahelise seose (7
annaabi.ee 
