~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu. Oppevahend pakub t¨ aiendavaid v~oimalusi u ¨li~opilaste iseseisvaks t¨o¨oks. T~oestuseta esitatud oluliste v¨ aidete korral on antud viide ~opikule, millest huviline v~oib leida kor- rektse t~ oestuse. ~
olemasolevate reeglite abil. 12 Tavaliselt on aga ilmutamata kujul esitatud funktsioonid mitmesed, seega tuleks p¨arast ilmutamist diferentseerida iga u ¨hest haru eraldi. Paljudel juhtu- del aga osutub funktsiooni ilmutamine k¨ ullaltki komplitseerituks v~oi hoopis v~oimatuks. Vaatleme ilmutamata funktsiooni diferentseerimist n¨aidete varal. N¨aide 1. Leiame y , kui x2 + y 2 = r2 . Selleks diferentseerime esitatud v~orduse m~olemaid pooli muutuja x j¨argi, arvestades sellega, et y 2 on liit- funktsioon: y on x funktsioon ja ruutfunktsioon on omakorda y funktsioon. Paremal pool v~ordusm¨arki on konstant, seega diferentseerimise tulemuseks saame 2x + 2y · y = 0. P¨arast y avaldamist x y =- .
k¨ anupunkte. Lihtne on kontrollida, kasutades §4.2 toodud lokaalse ekstree- a¨ mumi piisavaid tingimusi, et punktis x = 0 on funktsioonil f (x) = x4 hoopis lokaalne miinimum. P¨ ustitame k¨ usimuse: millistel piisavatel tingimustel on teist j¨arku kriitilises punktis funktsiooni graafikul k¨a¨anupunkt? Oletame k~oigepealt, et f (x) on suurem nullist punktist x1 -st vasakul ja v¨aiksem nullist punktist x1 paremal. Siis teoreemi 5.5 v¨aidete 1 ja 2 p~ohjal on joon y = f (x) n~ogus punktist x1 vasakul ja kumer punktist x1 paremal. Seega x1 korral n~ogusus asendub kumerusega, mis t¨ahendab et P = (x1 , f (x1 )) on k¨a¨anupunkt. Analoogiliselt arutleme juhul, kui f (x) on v¨aiksem nullist punktist x1 -st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f (x) kumer punktist x1 vasakul ja n~ogus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1 , f (x1 )) asendub kumerus n~ogususega, seega on P = (x1 , f (x1 )) k¨a¨
k¨a¨anupunkte. Lihtne on kontrollida, kasutades §4.2 toodud lokaalse ekstree- mumi piisavaid tingimusi, et punktis x = 0 on funktsioonil f (x) = x4 hoopis lokaalne miinimum. P¨ ustitame k¨ usimuse: millistel piisavatel tingimustel on teist j¨arku kriitilises punktis funktsiooni graafikul k¨a¨anupunkt? Oletame k~oigepealt, et f (x) on suurem nullist punktist x1 -st vasakul ja v¨aiksem nullist punktist x1 paremal. Siis teoreemi 4.5 v¨aidete 1 ja 2 p~ohjal on joon y = f (x) n~ogus punktist x1 vasakul ja kumer punktist x1 paremal. Seega x1 korral n~ogusus asendub kumerusega, mis t¨ahendab et P = (x1 , f (x1 )) on k¨a¨anupunkt. Analoogiliselt arutleme juhul, kui f (x) on v¨aiksem nullist punktist x1 -st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f (x) kumer punktist x1 vasakul ja n~ogus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1 , f (x1 )) asendub kumerus n~ogususega, seega on P = (x1 , f (x1 )) k¨a¨anupunkt
annaabi.ee 
