koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R, siis (A1P1+A2P2+A3)+(B1P1+B2P2+B3)=*0+*0=0. Seega punkti P koordinaadid rahuldavad võrrandit (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0. Paneme tähele, et (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=(A1+B1)x1+(A2+B2)x2+(A3+B3)=0 Seega on võrrand sirge ü ldvõrrand, kus A1+B1 ja A2+B2 ei ole samaselt nullid. Oletame vastuväiteliseltet A1+B1 =0| *B2 ja A2+B2 =0|* B1 ja et 0 (A1B2- A2B1)=0 vastuolu! Kui A1B2-A2B1=0 oleksid s||t, et aga s ja t kuuluvad samasse kimpu, siis ei saa nad olla paralleelsed. Kui =0 siis 0 ning korrutame võrrandeid suurustega A1 ja A2, saame (B1A2-A1B2)=0 vastuolu! Millest järeldub, et A1+B1 ja A2+B2 ei ole samaselt nullid. Seega võrrand (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0 kirjeldab kimpu kuuluvat sirget. 2) On vaja näidata, et suvalise antud kimpu kuuluva sirge jaoks leiduvad sobivad kordajad ja : Olgu w mingi sellesse kimpu kuuluv sirge. Olgu Q(q1,q2) mingi w'le kuuluv
algebralisel kujul. Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on komar z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks
a2 + b2i siis a1 + b1i = ( a2 + b2i ) ( x + iy ) ehk a1 + b1i = ( a2 x - b2 y ) + ( a2 y + b2 x ) i ; x ja y määratakse võrrandisüsteemist a1 = a2 x - b2 y , b1 = a2 y + b2 x . Lahendanud süsteemi, saame: a1a2 + b1b2 a2b1 - a1b2 x= ja y = . a2 + b2 2 2 a22 + b22 Lõpptulemus on järgmine: a1 + b1i a1a2 + b1b2 a2b1 - a1b2 = 2 + 2 i.
(Miks?) c d a b c d b d 0 0 a2 b2 a b c d a b b a a b a1 b1 d) e) f) ac Kui D 0, siis a1b2 a2b1 0 ehk a1b2 w a2b1 ehk w . c d a b c d d c 0 c a2 b2 475. Lahenda võrrand. Järeldus: Selleks, et võrrandisüsteemil oleks ühene lahend, ei tohi tundmatute
Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on komar z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i 2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks.
Außerdem habe ich etwas getrunken. In den Ferien habe ich viel gelesen und Tennis gespielt. Außerdem habe ich lange geschlafen. 17 Lösungsvorschlag: Zu meinem Geburtstag mache ich eine Party. Zum Muttertag gehe ich mit meiner Mutter ins Kino. Zu Weihnachten besuche ich meine Oma. Zu Ostern fahren wir in den Urlaub.; zu 18 1 zu 2 Am 3 am 4 um 5 am 6 am 19a 1 Bild 2 2 Bild 1 Modul Anna, Training: Lesen 1a A2B1 b 1 zwei Monaten 2 München 3 nur einmal im Monat 4 nett 5 eine Lieblingsschülerin 6 total gut Noten 7 Freunde in der Klasse 8 zu einer Party einladen Modul Anna, Training :Hören, Sprechen 2a Kassel Hannover b 2 Zimmer 3 Klasse 4 Sportfest 5 Party c 1b2c3a4b5b6b 3a individuelle Lösung Das kannst du jetzt Lösungen siehe AB, S.97 Lektion 22 1 1 DRIBBELN 2 MANNSCHAFT 3 TRAINER 4 KAPITÄN 5 GEWINNEN 6 TOR 7 TORWART
Korrutamine skalaariga: vektori v korrutamine skalaariga a saame tulemuseks uue vektori, mille moodul on a korda v moodulist, suund aga säilib, kui a on positiivne, ning on sellega vastupidine, kui a on negatiivne. Skalaarkorrutis: vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. a*b=|a|*|b|*cos α Vektorkorrutis: vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit a x b. a x b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) Projektsioonid ja nende seos mooduliga: Vektori projektsioon tuleb varustada plussmärgiga, kui komponentvektori suund langeb ühte telje suunaga ja miinusmärgiga, kui vektori komponent teljel on teljega vastassuunaline. Vektori projektsiooni omadused: võrdsete vektorite projektsioonid samale teljele on võrdsed; vektori korrutamisel arvuga korrutub sama arvuga ka tema projektsioon; vektorite summa projektsioon mingile teljele võrdub liidetavate vektorite
annaabi.ee 
