.yn(x) (1h) lahendid ,st nad on n korda diferentseeruvad vahemikus (a,b). Sel juhul võimalik moodust determnt: W(x) =|y1(x) y2(x) ... yn(x) |y'1(x) y'2(x) ... y' n(x) |... |y1(n-1)(x) y2(n-1) (x) ... yn(n-1)(x)** Nii defineerides saab W det. **Nt. Vaat fne y1=1, y2=sin2x, y3=cos 2x. Moodust W det** W(x) =1 sin2x cos 2x | 0 sin2x -sin2x = -2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=0 | 0 2cos2x -2cos2x| =1*sinx(-2*cos2x)+sin2x*2cosx*(-sinx)*0+cos2x*0*2cos2x- 0*2sinxcosx*cos 2x-2cos2x*2cosx*(-sinx)*1-(-2)*cos2x*0sin2x=0 **** I Tõest kui funktsioonid on lin sõltuvad (wronskiga)),ss kehtib seos (*) y1,y2,..yn on lin. Sõltuvad, st @1y1+...+@nyn=0 *tahame näidata et W(x)=0 x (a;b) *oletame, et @n0 (vähemalt 1@dest peab olema erinev 0st) *avaldame yn-i ja moodust W detdi: *yn=(-1/@n) (@1y1+@2y2+..+@n-1yn-1) **W(x)=|y1 y2 ... yn-1 yn |y1' sama |..
Järeldus3:Lineaarse hom DV (1h) lahendite y1,y2,...,yn korral on kas W(x)=0 Ɐxє(a;b) korral või W(x)≠0 kõigi xє (a;b).Wronski determinant:olgu yi=yi(x) (i=1,2,...,n) vahemikus (a;b) määratud ja n-1 korda pidevalt diferentseeruvad funktsioonid. Determinanti W(x)=y1(x) y2(x) ... yn(x); y'1(x) y'2(x) ... y'n(x);...;y1(n-1)(x) y2(n-1)(x) ... yn(n-1)(x); nim fn-de y1(x),y2(x),...,yn(x) WD punktis x.Nt.Vaatame fn-e y1=1,y2=sin2x,y3=cos2x. Moodustame WD W(x)=1 sin2x cos2x;0 sin2x -sin2x;0 2cos2x -2cos2x =-2sin 2xcos2x+2sin2xcos2x=0 Lahendite fundamentaalsüsteem . Lineaarse DV üldlahend Ly=0 LFS nim mistahes n lin. Sõltumatut lahendit y1(x),...,yn(x). Kui kordajad p0(x),...,pn(x) on pidevad fun vahemikus (a,b) siis leidub võrrandi Ly=0 jaoks LFS. Üldlahend avaldub kujul y k=C1y1(x)+ C2y2(x)+... Cnyn(x) TÕESTUS vaatlene n ülesannet. Olgu esimene ül {Ly=0 {y(x 0)=1 { y’(x0)=0 {...{y(n-1((x0)=0 kus xє(a,b). Teine Cauchy ül {Ly=0 {y(x 0)=0 { y’(x0)=1 {...{y(n-1((x0)=0
.. ... ... ... y1 (x) y2 (x) ... yn(n-1)(x) (n-1) (n-1) nimetatakse funktsioonide y1(x), y2(x), ..., yn(x) Wronksi determinandiks punktis x. Nt. Vaatame funktsioone y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x. Moodustame Wronski determinandi 1 sin2x cos2x W(x) = 0 sin2x -sin2x = -2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=0 0 2cos2x -2cos2x 6. Lahendite fundamentaalsüsteem. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahend. V: Definitsioon: Võrrandi Ly = 0 LFS nimetatakse mistahes n lineaarset sõltumatut lahendit y 1(x), y2(x), ..., yn(x). Teoreem: Kui kordajad p0(x), p1(x), ..., pn(x) on pidevad funktsioonid vahemikus (a, b), siis leidub võrrandi Ly = 0 jaoks LFS. Üldlahend avaldub kujul yk = C1y1(x) + C2y2(x) + ... Cnyn(x). Lineaarse DV üldlahend – vaatame võrrandit Ly=f(x), s.t. p0(x)yn+p1(x)yn-1+...+pn(x)y=f(x)
d) 2tan2x -5tanx +6 = 0
Vastus: x1 = arctan3 +n , x2 = arctan2 +n , n
e) 8sin2x -2cosx = 5
3
x1 2n ; x2 arccos 2n n z
3 4
x
f) tan 2 6 = 0 Vastus : x = 3 (6k - 1), k
g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja
-3600
e) 8sin2x -2cosx = 5 Vastus:
x
2 6 3
f) tan =0 Vastus : x = (6k - 1), k
*g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja -3600
annaabi.ee 
