Olgu a mingi arv. Vahemikku (a − δ, a + δ) =: U δ (a) , kus δ on mingi positiivne arv, nimetatakse arvu (ehk punkti) a δ-ümbruseks. Arvu δ nimetatakse seejuures ümbruse Uδ (a) raadiuseks. Igal punktil a ∈ R on lõpmata palju ümbrusi, s.h. kuitahes väikese raadiusega. Sellest tuleneb, et , teisisõnu, kui mingi arv x kuulub punkti a igasse ümbrusse, siis x = a Defineerida alamhulga X ⊂ R sisepunkti mõiste, kirjeldada vahemikku, poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka. Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo. Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis, X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅. Tuua 2 näidet reaalarvude hulkadest, millel pole sisepunkte
2.12 N¨aidata, et kui topoloogiline ruum X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis tema igal punktil x leidub selline ¨mbruste baas {U1 , U2 , U3 , . . . }, et U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ . . . . u 3 SISEMUS JA SULUND 3.1 Hulga sisemus Olgu X mis tahes topoloogiline ruum. Definitsioon 3.1 Punkti x ∈ X nimetatakse hulga A ⊂ ¨mbrus U ∈ X sisepunktiks, kui leidub punkti x selline u U(x), et U ⊂ A. Definitsioon 3.2 Hulga A k˜oigi sisepunktide hulka nime- tatakse hulga A sisemuseks. 0 Hulga A sisemust t¨ahistatakse A = int(A). Definitsiooni 0 kohaselt A ⊂ A. N¨ aide 3.1 Kui hulk A on lahtine ruumis X, siis int(A) = A. aide 3.2 L˜oigu [a; b] ⊂ R = X sisemus on ]a; b[. N¨ Teoreem 3.10 Olgu A, B ∈ X. Siis kehtivad omadused: 10 int(A) on suurim lahtine hulk, mis sisaldub hulgas A; 20 int(A) on k˜oigi hulgas A sisalduvate lahtiste hulkade u
ε-ümbruseks (ε-neighbourhood, ε-окрестность) alamhulka Uε (a) := {x ∈ R | |x − a| < ε} . Lause 1.27 põhjal Uε (a) = (a − ε, a + ε) (veenduda!)z. Definitsioon. Alamhulga X ⊆ R punkti x nimetatakse tema sisepunktiks (interior point, внутренная точка), kui leidub selline δ > 0, et ümbrus Uδ (x) sisaldub hulgas X, s.t. (x − δ, x + δ) ⊆ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka nimetame tema sisemuseks ning tähistame X o . 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus Kõigepealt tõestame ühe tõkestatud intervallidega seotud väite. Lause 1.29 Kui [an , bn ], kus n ∈ N, on sellised lõigud, et [a1 , b1 ] ⊇ [a2 , b2 ] ⊇ . . . ⊇ [an , bn ] ⊇ . . . , ∞ siis [an , bn ] 6= ∅. T n=1
annaabi.ee 
