-1() -1() (ühisosa def.) -1()-1(). 6. Näitame kahe hulga võrdsust. -1() (originaali def.) () (vahe def.) () ¬(()) (originaali def.) -1() ¬(-1()) (-1()=) ¬(-1()) (vahe def.) -1(). Omadused 4. ja 5. kehtivad suvalise arvu hulkade ühendi ja ühisosa korral, s.t. kehtivad ka 4a) -1()=-1() 5a) -1()-1() Hulkade kujutistel ei ole originaalide omadustega 6. analoogilist omadust. Kui näiteks : on konstantne funktsioon, siis ()={} (kui ), ()={} (kui ) ja ()/={} ning ei leia aset sisalduvused (/)() ega ka (/)() (kui {}). Hulga kujutise originaal ja originaali kujutis Kujutise ja originaali järjestikuse võtmise korral saame järgmised sisalduvused. Teoreem 3. Olgu : funktsioon. Siis 1. Kui , siis -1( ()). 2. Kui , siis ( -1()). Tõestus. 1. Olgu ja olgu . Meil on vaja näidata, et -1( ()). Hulga kujutise definitsiooni põhjal võime kirjutada ()(). Et saaksime kasutada hulga originaali omadusi, asendame
elemendid kuuluvad ka hulka B. Tähistatakse A B või B A. Ülemhulk: Hulka B nimetatakse hulga A ülemhulgaks, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B. Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks, kui hulk A on hulga B alamhulk ja AB. Hulgal {a, b} on järgmised alamhulgad: , {a}, {b}, {a, b}. Üldiselt, kui hulgas on n elementi, siis hulgal on 2n alamhulka. Tühi hulk on iga hulga alamhulk (sealhulgas ka tühja hulga enda). Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused N Z Q R C. Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka AB, mis koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus
transitiivsuse omaduse tõttu 1 2. Samuti selle sama omaduse tõttu 2 1. Ja Antisümmeetrilisuse omaduse põhjal need tühjad hulgad on võrdsed ehk see näitab ära, et tühjad hulgad on üheselt määratud. Pärisosahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B osahulk ja A B. Näide: 1. Kui S = {4, 5, 7} ja T = {3, 4, 5, 6, 7}, siis S T. 2. Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused . 3. Kui a < b, siis (a, b) (a, b] [a, b]. Kõigi osahulkade hulk Hulga A kõigi osahulkade hulka tähistatakse tavaliselt P( A)={ X X A }. Ülesanne: Iga hulga korral leia tema kõigi osahulkade hulk. Samuti määra |A| ja |(A)|. 1. A = 2. A = {a, b} LAHENDUS 1. A = , ()=? |A| = 0, () = {X | X } = , |()| = 1 2. A = {a, b} |A| = 2, (a, b) = {X | X {a, b} } = {, {a}, {b}, {a, b}}, |()| = 4 Lause
R ∘R−1 ≠ I Näide: tühirelatsioon o Algebra terminites tähendab see, et hulgal X määratud relatsioonide monoid tavaliselt ei ole kommutatiivne ega ole rühm. Kompositsiooni assotsiatiivsus o Teoreem 1. Suvaliste relatsioonide R ⊆ X × Y , S ⊆ Y × Z ja T ⊆ Z ×W korral (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ). See tähendab, relatsioonide kompositsioon on assotsiatiivne. o Tõestus. Kahe hulga võrdsuse tõestamiseks näitame, et sisalduvused (x,w) ∈ (R ◦ S) ◦ T ja (x,w) ∈ R ◦ (S ◦ T ) on teineteisega samaväärsed. Tõepoolest, sisalduvus (x,w) ∈ (R ◦ S) ◦ T on kompositsiooni definitsiooni põhjal samaväärne tingimusega leidub z ∈ Z, et (x, z) ∈ R ◦ S ja (z,w) ∈ T, viimane aga samal põhjusel tingimusega leiduvad z ∈ Z ning y ∈ Y , et (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ S ja (z,w) ∈ T . Siin võime kombineerida kaks viimast
annaabi.ee 
